放缩法证明数列不等式的基本策略

不得不说的放缩法

放缩法证明数列不等式是高考数学命题的热点和难点。所谓放缩法就是利用不等式的传递性，对不等式的局部进行合理的放大和缩小从而向结论转化，其难度在于放缩的合理和适度。证明数列型不等式，因其思维跨度大、构造性强，需要有较高的放缩技巧从而充满思考性和挑战性。为了帮助更多的学生突破这一难点，我们从以下几个方面对放缩法证明数列不等式的基本策略进行分析。

一、常见的放缩方法

证题中经常用到的放缩方法法有：

1.“添舍”放缩：对不等式一边添项或舍项以达到放大和缩小的效果；

2.分式放缩：分别放缩分式的分子、分母或者同时放缩分子分母以达到放缩的效果；

3.利用重要的不等式或结论放缩：把欲证不等式变形构造，然后利用已知的公式或恒不等式进行放缩，例如均值不等式、柯西不等式、绝对值不等式、二项式定理、贝努力公式、真分数性质定理等。 4.单调性放缩：挖掘不等式的结构特征和函数内涵来构造单调数列或单调函数，利用单调性、值域产生的不等关系进行放缩。

二、常见的放缩控制

当我们选择了正确的放缩方法后，却往往会在放缩的过程中不知不觉间失控，导致放缩的过大或过小，达不到欲证的目标。那么如何控制好放缩的尺度呢？

例1．求证：

11117 2222

4123n

分析1：不等式左边不能直接求和，我们希望通过合适的放缩后可以求和。

1111

(n 2) ”的方法向右端放大， 2

nn(n 1)(n 1)n

11111117111

1 ( ) ( ) ( ) 2 2 则左边 1

1223n 1nn41 22 3(n 1) n

若采取“

很明显，放得有点大了，导致传递性失败，不等式链中断，放缩失败。那怎么办呢？ 【1】 调整放缩的“量”的大小

分析2：分析1中“放”的有点过大，因为1 1，放大了11 11， 所以可以22

2

1 2

43

2 318

通过调整放大的“量”来控制放缩的效果。在减少1，即

11

分母减少了n，我们可以把分母只 2

nn(n 1)

11111 ( )n 2），这样放的量就少了。 n2n2 12n 1n 1

1171111111111111

) =1+(1 ) <1+(1 )= 证明1：左边<1 ( ) ( ) ( )+ (

2242132435n 1n 122nn 1

【2】 调整放缩的“项”的起点

分析3：分析1中从第二项开始放缩，放的最终有点大。可以调整放缩的项数，从第三项开始放缩。 证明2：左边 1

11111717111

1 ( ) ( )

423n 1n4n442 3(n 1) n