第3讲 立体几何中的向量方法

【高考考情解读】 高考对本节知识的考查以解答题的形式为主：1.以多面体(特别是棱柱、棱锥或其组合体)为载体，考查空间中平行与垂直的证明、空间角(主要是线面角和二面角)的计算.2.以已知结论寻求成立的条件(或是否存在问题)的探索性问题，考查逻辑推理能力、空间想象能力以及探索能力，是近几年高考命题的新亮点，属中高档问题．

1． 直线与平面、平面与平面的平行与垂直的向量方法

设直线l的方向向量为a＝(a1，b1，c1)．平面α，β的法向量分别为μ＝(a2，b2，c2)，v＝(a3，b3，c3)(以下相同)． (1)线面平行

l∥α a⊥μ a·μ＝0 a1a2＋b1b2＋c1c2＝0. (2)线面垂直

l⊥α a∥μ a＝kμ a1＝ka2，b1＝kb2，c1＝kc2. (3)面面平行

α∥β μ∥v μ＝λv a2＝λa3，b2＝λb3，c2＝λc3. (4)面面垂直

α⊥β μ⊥v μ·v＝0 a3a4＋b3b4＋c3c4＝0. 2． 直线与直线、直线与平面、平面与平面的夹角计算

设直线l，m的方向向量分别为a＝(a1，b1，c1)，b＝(a2，b2，c2)．平面α，β的法向量分别为μ＝(a3，b3，c3)，v＝(a4，b4，c4)(以下相同)． (1)线线夹角

π

设l，m的夹角为θ(0≤θ≤，则

2|a1a2＋b1b2＋c1c2||a·b|

cos θ＝|a||b|a1＋b1＋c1a2＋b2＋c2(2)线面夹角

π

设直线l与平面α的夹角为θ(0≤θ≤)，

2|a·μ|

则sin θ＝＝|cos〈a，μ〉|.

|a||μ|(3)面面夹角

设平面α、β的夹角为θ(0≤θ<π)，