平面向量与解斜三角形结合0817
专题6 平面向量与解斜三角形结合
考点动向：自新教材实施以来，平面向量与解斜三角形的结合成为是高考中的新题型，自新教材实施以来，在高考的解答题中，不时考查平面向量与函数有关知识的结合。这类题目，实际上是以向量为载体考查解斜三角形的知识：正弦定理、余弦定理及面积公式，利用向量的知识将问题转化为解斜三角形的问题：求边角、求面积、求值（包括最大值、最小值），转化时不要把向量实数搞混淆。可以预测到，今后的高考中，还会继续出现这方面的题目。
可以预测到，今后的高考中，还会继续出现解斜三角形这方面的考题。 方法范例
例1（2005年·全国卷Ⅲ）△ABC中，内角A，B，C的对边分别a，b，c，已知a，b，c成等比数列，且cosB
3. 4
3
的，求a c的值. 2
sinB
，由
sinAsinC
（Ⅰ）求cotA cotC的值；（Ⅱ）设
[分析] （Ⅰ）运用把三角公式“切化弦”把cotA cotC转化成
cosB
372
得出sinB ；运用正弦定理及b ac，将“边边关系”化为“角角关系”44
2
得sinB sinAsinC，从而cotA cotC
14
7. ＝
sinB7
32
（Ⅱ）利用向量运算，由已知得ca cosB ，b ac＝2；由余弦定理，得
2
a2 c2 b2 2ac cosB，将“边角”关系转化为“边边”关系，从而
(a c)2 a2 c2 2ac 9进一步得a c＝
[答案]解：（Ⅰ）由cosB 由正弦定理，得
4
7. 7
372，得sinB .因为a，b，c成等比数列，所以b ac 44
abc 2R，所以sin2B sinAsinC. sinAsinBsinC
11cosAcosCsinCcosA cosCsinA
于是，cotA cotC
sinAsinCtanAtanCsinAsinC
sin(A C)sin( B)sinB14 7. ＝222
sinBsinBsinBsinB7
33
（Ⅱ）由 ，得ca cosB .
22
32
因为cosB ，所以ca＝2，即b＝2.
4
由余弦定理b a c 2ac cosB，得
2
2
2
a2 c2 b2 2ac cosB 2 2 2
2
2
2
3
＝5， 4
所以，(a c) a c 2ac 5 2 2 9，a c 3.
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