论质点运动学中的微积分思想

论质点运动学中的微积分思想

论质点运动学中的微积分思想

摘要:大学物理的教学中,质点运动学是以高等数学为工具研究

变速运动,而中学物理是以实验为基础研究匀变速运动,在教学实

践中发现由于教科书的简明,学生在认识上有一定的混淆。采用两

个典型的例题陈前启后地让学生建立起用微积分思想考虑物理问

题。此方法也可适用于其他类似内容的教学。

关键词:变速运动瞬时速度求导积分分离变量转换变量

质点运动学有两类基本问题,一是由质点的运动方程可以求得质

点在任一时刻的位矢、速度和加速度;二是已知质点的加速度以及

初始速度和初始位置,可求质点速度及其运动方程。

对第一类基本问题,以求瞬时速度为例来分析。在工科大学物理

的教科书中用平均速度的极限值定义瞬时速度。用 表示:

为使学生能更深入透彻的了解上式,以学生在高中学习中熟悉的

初速为0的一维自由落体运动为例来深入分析。因为:

现在来求从第t秒末到t+△t秒末的时间间隔内物体的平均速度:

(3)式表明从第t秒末开始取不同的时间间隔△t所得到的平均速

度是不相同的,如果要比较精确的描述t秒这一时刻质点的速度,

则显然△t取得越小越好,如果取△t为无限小,即△t→0的极限

情况,这时平均速度变为:

(3)、(4)式即为牛顿的流数术,其清楚地表明质点在第t秒末的

一个无限小时间间隔内的平均速度,即为第t秒的瞬时速度。平均

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