理科考试研究 数学版

2 1年 2 1日 00月

柯西不等式在解高考题中的应用 朱冬茂

课系中设“式讲这专程置不课程列，了等选”一题 .

∽ = 荐√3 ≤( 3+1 (+ ) 4 ) ≤ ,

。

柯西不等式是指：对于任意实数， ( i= 1,

2…,)有(ll 22,,,口6+a6+…+口6)≤ (; 1 n一口+口+…+口 )6+ i i (i 6+…+6 )当 ,且仅当 柯西不等式应用十分广泛，本文以近年高年

所以z+ y

2,

。一 取等号当且仅= Y z √上 3 .

考题为例说明它的应用 . 1求值 .例 1 (0 8 -:: es 2 0￣ )￣ o+2 i q s。:一 n ,

又+y 2:1

,

所以当=,= 时，~=2 S . 3解不等式问题 .

则 tl a口= 1 A. 1 B .

2 c吾 D一 . .2一

例 28全一若线+ 1 3(年国 )直詈= o 0 通过点 M (oa s a, cs,i )则 n A.+ b a≤ 1 Ba .+ b≥ 1 D .

解析由题设条件及柯西不等式，得 5= (×os 1 0口+2×s口 i ) n

≤ (+2 )0Sa+s￣ )=5 1 2 (3 2 ia n

c 1+ 1≤ 1 .

1丢≥1+ = 1过点 M,以所

等号当且仅当 成立 .故应选 B .

=

, t a=2时即 a n ‘

', . . 解析因直线兰+

n b

2最 .值求 例 2 (0 8年江苏) 20在平面直角坐标系 .

1s丢i=. a s 1 c十 n 。 a 所以由柯西不等式得

r中设Pz )椭号+=上一 O, (,是圆 1的 y

1 ( s+1n):∞口了i 口 s

解 不，翥 s西式 由嚣‘析柯等得 . _均匀分组、非均匀分组”等三种类型 .计数时常有下面结论：于其中的“对均匀分组”部和“分均匀分组”问题，只需按“均匀分组”非列式

≤16~ c’ 口…。~口嘉 ++,。 6’ 按， 11 2,分成三组，,其分法有堡 种； 第二步将分好的三组分配到 3乡镇，个其分法

后，再除以均匀组数的全排列数 . 例 8 (0 9 2 0年重庆) 4名大学生分配到将 3个乡镇去当村官，每个乡镇至少一名

,则不同 的分配方案有——种(用数字作答 ) . 解分两步完成：第一步将 4名大学生

有 A种. 3所以满足条件的分配方案有 .

种.

l 2

【作者单位：350 ) (250浙江省泰顺县第一 中学】