线性代数试卷

安徽工业大学2007-2008线性代数期末考试试题卷（A卷）参考答案

一、填空题（本大题共有5小题，每题４分，满分20分）

10 0100 200 ２.

0010 ３．abc 0 3 1

00

4

４ 5. 1 2 3 4 0

二、单项选择题（本大题共有６小题，每小题3分，满分18分）

1.C 2.D 3.A 4.D 5 C 6. B

三、计算题（本大题共有６小题，满分３6分）

x

x001.（8分）解： D

11 x1100yy 3分

111 y

1

100=xy

11 x110011 ………….6分

111 y

1

100 xy

0 x0022

001

1

xy………….8分

0 y

２.（8分） 解： 由题意知 (PQ)2

P(QP)Q， ………3分

而 QP 0,1,1 1,2,3 T

5， ………….5分

故(PQ)2

P(QP)Q 5(PQ)

1

又

011

PQ 2 0,1,1 ………….7分

022 3 033

055 因此 (PQ)2

5(PQ) 01010 ………. 8分

01515

３. （8分）解：由题意知：A 1

BA 6A BA

在等式两边同时又乘以A 1，得A 1

B 6I B， .……….3分 又A 1

I可逆，故B 6(A 1 I) 1 .………..5分

于是

200

1

1

200

B 6(A 1 I) 1

6 6 1

030 300

006

030 020 . …..8分

0

001 1

06

132 ４、（10分）解： (

1, 2, 3) 2 13 ……..2分

32c 132 12 0 7 1 3

071 ..……5分 0 7c 6 00c 5

要 1, 2, 3线性相关，必须c 5 ………6分

132 1011 7

当c 5时， 071 011

………8 000 7 分

000 117 1

3

1 7

2 ………10分 1

005、（8分）解 （1）由题意知I A 1

11 t 0……..3分

1 t

2

00（2）由于 I A

1 2

1

( 1)( 2)2，

1

1

则矩阵A的特征根分别为1和2。 ...……5分

当 1时，对应的特征向量为x,1,1 T

1 0， ………6分

当 2时，对应的特征向量分别为x2 1,0,1 T

和xT

3 0,1,0 ， ….8分

故矩阵A可以对角化，可令矩阵P 010 101 ，则P 1

AP . ...10分

0 11

6、（10分）解：对方程组增广矩阵进行初等行变换

1 111 1 2145 6 1 111 1

0323 4 5

1234 0323 4

11 105

7 21 1 32 3

1

01 2

4

31 4 3 0000 0 013

1 3 ….…3分

0000

0

x 7 5x3取x 133

2x43,x4为自由未知量，则原方程组化为

x2 43 23x3 x4令x3 x4 0，得原方程组一特解 0 7/34/300 T

， …….5分

又原方程组对应的齐次方程组基础解系为

T

1 5/3, 2/3,1,0 , 2 2, 1,0,1 T

…....7分

故原方程组的通解为

7/3 5/3 2

x 4/3 0 k1 1 k2 2 k 2/3 k 1

…….8分 0 1 12

0 0 0 1

7、（5分）证明

由于(A 4I)(2A I) I ……..3分 故A 4I可逆，且(A 4I) 1

2A I ……..5分

8、.（5分）

证明：

AA* AI，且A为n阶可逆矩阵，则A* AA 1,……...3分

又A2

AI，故A AA 1

,综合以上，命题得证。 …...….5分