超级经典

求函数值域方法

一、基本知识

1． 定义：因变量y的取值范围叫做函数的值域（或函数值的集合）。 2． 函数值域常见的求解思路：

⑴．划归为几类常见函数，利用这些函数的图象和性质求解。

⑵．反解函数，将自变量x用函数y的代数式形式表示出来，利用定义域建立函数y的不等式，解不等式即可获解。

⑶．可以从方程的角度理解函数的值域，如果我们将函数y f(x)看作是关于自变量x的方程，在值域中任取一个值y0，y0对应的自变量x0一定为方程y f(x)在定义域中的一个解，即方程y f(x)在定义域内有解；另一方面，若y取某值y0，方程y f(x)在定义域内有解x0，则y0一定为x0对应的函数值。从方程的角度讲，函数的值域即为使关于x的方程y f(x)在定义域内有解的y得取值范围。 特别地，若函数可看成关于x的一元二次方程，则可通过一元二次方程在函数定义域内有解的条件，利用判别式求出函数的值域。

⑷．可以用函数的单调性求值域。 ⑸．其他。

3． 函数值域的求法

（1）、直接法：从自变量x的范围出发，推出y f(x)的取值范围。或由函数的定义域结合图象，或直观观察，准确判断函数值域的方法。 例1

：求函数y 例2

：求函数y 例3

：求函数y

x≥1 的值域。

1, 1的值域。

01 1，

∴函数y

1的值域为[1, )。

2

（2）、配方法：配方法式求“二次函数类”值域的基本方法。形如F(x) af(x) bf(x) c的函数的值域问题，均可使用配方法。

例1：求函数y x 4x 2（x [ 1,1]）的值域。 解：y x 4x 2 (x 2) 6，

∵x [ 1,1]，∴x 2 [ 3, 1]，∴1 (x 2) 9

2

∴ 3 (x 2) 6 5，∴ 3 y 5

2

2

2

2

2

∴函数y x 4x 2（x [ 1,1]）的值域为[ 3,5]。