全局最优正交小波滤波器设计
全局最优正交小波滤波器设计
全局最优正交小波滤波器设计
郑 群 郑永选
（秦皇岛职业技术学院 河北 北戴河 066100）
摘 要： 在应用中通常希望正交小波滤波组在具有完美重建和一定阶消失矩的同时，也具备最优的频谱特征。为达到这双重目的，提出一种新的基于多项式优化理论的正交小波滤波器组设计方法，该方法可以保证计算出的滤波器组具有获得全局最优频率特征，并且设计出的滤波器与等长的Daubechies正交小波滤波器相比较具有更快速的过渡带滚降。
关键词： 滤波器组；多项式优化；半正定规划；正交小波；全局最优
中图分类号：TP39 文献标识码：A 文章编号：1671－7597（2011）0110050－01
0 引言
由于具有完美重建条件（perfect reconstruction，PR）和良好的频
率响应等其他优秀特点，双通道共轭正交滤波器组[1]被广泛应用于多分辨率系统和基于小波图像压缩编码等系统中。其设计就成为经典的研究问题，这其中最著名的Daubechies正交小波[2]是基于最大化滤波器消失距来获得低通滤波器的最大平坦响应，其缺点在于这样设计的滤波器过渡带滚降十分缓慢。而在设计滤波器过程时为了获得快速的过渡带滚降，我们
需要滤波器在带通区间或者带阻区间出现涟波响应。所以为了获得快速的过渡带滚降，与Daubechies的最大平坦响应滤波器组设计截然相反的设计方向是由Smith and Barnwell提出的等涟波响应双通道共轭正交滤波器组[3]。然而，Smith and Barnwell设计的滤波器不具备任何阶的消失距，这也意味着这种滤波器组无法通过迭代来生成小波。所以即具备一定阶数的消失矩（为了产生稳定的滤波器组迭代性质，也就是小波），又具有良
好的快速的过渡带滚降，就成为设计正交滤波器组的一个设计目标。
本文提出滤波器组设计方法满足以上两个条件，同时还保证设计结果为全局最优，具体设计算法的理论根据是基于优化理论的最新结果：多项式优化一些理论进展和算法。多项式优化比经典的凸优化理论更广泛，其理论和算法结合了实代数几何与凸优化理论中半正定规划的一些结果。
1 多项式优化理论
优化问题表述为
在设计小波滤波器组的时候除了要满足基本的完全重建条件（6），
[5]：
正如本文开始所述，在完美重建条件（6）和L阶消失距（7）的基础综上所述，二维双通道正交滤波器组设计问题写成多项式优化问题为
2.2 滤波器设计算法
这样（9）等价于如下问题：
根据Lasserre的SDP算法，可以将（10）转化为N阶SDP松弛问题，在计算出充分大的N阶SDP问题解后，最优滤波器系数可以通过[4]中的方法计算。
3 结论
本文提出一种新的全局最优二通道正交滤波器组设计方法。该方法给出的全局最优滤波器在满足完美重建条件和一定阶消失距的同时，具有最优的频率响应特征。
参考文献：
[1]P.P. Vaidyanathan，Multirate Systems and Filter Banks，Prentice-Hall，1993.
[2]I. Daubechies，Ten Lectures on
Wavelets. Philadelphia，PA： Society for Industrial and Applied Mathematics
，1992.
[3]M. J. T. Smith and T. P. Barnwell，“Exact reconstruction techniques for tree-structured sub-band coders,”IEEE Trans. Acoust.，Speech，Signal Process.，vol. 34，no. 3，pp. 434441，Jun. 1986.
[4]J. Lasserre. Global optimization with polynomials and the problem of moments. SIAM J. Optim.，11 (2001)，No. 3，796-817.
[5]Stéphane Mallat. A Wavelet Tour of Signal Processing (3rd ed)，Academic Press，2009.
设S为（1）的可行性解集合且（1求解多项式优化问题（1）的标准解法由Lasserre提出[4]，原理是通过一序列
SDP敛在一定条件下可以在有限步达到。
2 最优化正交小波滤波器组设计
2.1 二维双通道正交滤波器
滤波器组完美重建（PR）条件[5]PR条件（5）可以等价为如下多项式方程：作者简介：
郑群（1984-），女，汉族，河北省秦皇岛市人，助教，主要研究领域为滤波器设计，多项式优化理论及其在信号处理上的应用。
