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高中数学 矩阵与变换

14.2 矩阵与变换

解答题

2

1. 在平面直角坐标系xOy中，设椭圆4x＋y＝1在矩阵A＝

0

2

2

0

对应的变换下1

得到曲线F，求F的方程．

解析 设P(x，y)是椭圆4x2＋y2＝1上的任意一点，点P(x，y)在矩阵A对应的变 x′ 2

换下变为点P′(x′，y′)，则有 ＝

y′ 0

0 x x′＝2x， ，即 1 y y′＝y，

x＝x′

2所以 y＝y′

x′2

.

又因为点P(x，y)在椭圆4x2＋y2＝1上， 所以4(

2＋y′2＝1，

即x′2＋y′2＝1.

故曲线F的方程为x2＋y2＝1.

x′ x

【点评】 线性变换是基本变换，解这类问题关键是由 ＝A 得到点

y′ y

P′(x′，y′)与点P(x，y)的坐标关系．

2．已知在一个二阶矩阵M对应变换的作用下，点A(1,2)变成了点A′(7,10)，点B(2,0)变成了点B′(2,4)，求矩阵M. a

解析 设M＝

c

b a ，则

c d

b 1 7 a

＝ ， d 2 10 c

b 2 2 ＝ ， d 0 4

c＋2d＝10，即 2a＝2， 2c＝4.

1 3

. 所以M＝

2 4

a＋2b＝7，

b＝3，解得 c＝2，

d＝4.

a＝1，

第1页

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