参考答案与提示

第7章 多元函数微分学及其应用

7.1 多元函数的概念

1、(1) {(x,y)y x2,x2 1 y}

(2){(x,y,z)x2 y2 z2,x2 y2 0} (3)不存在 (4)连续 3、(1) 0 (2) 0

7.2 偏导数与全微分

1、(1) ysin(xy) (2)xln(x y)

xy

(3)yesin(xy)x y

cos(xy)x3

(4) x2 y

2

(5) e xy(x2y 2x) (6) (2e y

3

2x

)dx 2xe ydy (7) 2dx (8) 0.25e 2、(1) fx xy 1yz 1 f 1y xyyzlnx xyzyz fz xyyzlny(2)zy

y2

x (1 xy)1 xy

zy (1 xy)y[ln

1( xy) xy1 xy] 3、 3z x y

3z x y2 12 0y2

7.3 多元复合函数求导法

1、(1) 2xyf(y

x

)或2z (2) 2yf1 xexyf2 (3) 2x 1 (4) 24t3 3t2

2t (5) ex(1 x)1 x2e

2x

(6) (2xy y2)dx (x2 2xy)dy

2、(1) ux f1 yf2 yzf3 uy xf2 xzf3 uz xyf3 (2) f1 xyf 1y2f2 x11

y

3

f22 (3) 2f 4x2

f 4xyf (4) siny(cosxf21

ex yf y23 ) ex(f3 cosxf31 f33 ex y) 7.4 隐函数求导法

1、

2xy ycos(xy)xcos(xy) x2 2、 sin2xsin2ysin2z

sin2z

3、2z2 2z z3

xF1x2(z 1)3

4、 yF2 z(F 1 F2 )z(F1 F2 )5、(1) x(1 6z)x

2y(1 3z) 1 3z

(2)f2 g1 uf1 (2yvg2 1) (1 xf1 uf1 )f2 g1 (1 xf)(1 2yvg g1

1 2 )f2 g1 (1 xf1 )(1 2yvg2 )7.5 多元函数微分学的几何应用

1、(1) x

14 y 13 z 12 (2) x y 2z

2

4 (3) 3

22

(4) x 33 y 44 z 12122、x 4y 6z 21 3、x 2y 1z 6

27 28

4

4、a 5,b 2

7.6 方向导数与梯度

1、(1)

223 (2) 1

2

(3) 5 (4) 9{1,2, 2} 1