第 二 章 热 传 导 方 程

§1 热传导方程及其定解问题的提

1. 一均匀细杆直径为l，假设它在同一截面上的温度是相同的，杆的表面和周围介质发生热交换，服从于规律

dQ k1(u u1)dsdt 又假设杆的密度为 ，比热为c，热传导系数为k，试导出此时温度u满足的方程。

解：引坐标系：以杆的对称轴为x轴，此时杆为温度u u(x,t)。记杆的截面面积由假设，在任意时刻t到t t内流入截面坐标为x到x x一小段细杆的热量为

2

2

u u

M1 C u x,y,z,t2 u x,y,z,t1 dxdydz Cdtdv Cdvdt

t t t1t1

t2

t

两者应该相等，由奥、高公式得：

t2

u u u u

M D D Ddvdt M Cdvdt 1 y z x x y z t t1 t1

其中C叫做孔积系数=孔隙体积。一般情形C 1。由于 ,t1,t2的任意性即得方程：

t2

l2

4

为S。

C

u u u u D D D t x x y y z z

dQ1 k

u

x

x xs t k

u x

xs t k

u x

s x t 2x

3. 砼(混凝土)内部储藏着热量，称为水化热，在它浇筑后逐渐放出，放热速度和它所储藏的水化热成正比。以Q t 表示它在单位体积中所储的热量，Q0为初始时刻所储的热量，则

杆表面和周围介质发生热交换，可看作一个“被动”的热源。由假设，在时刻t到t t在截面为x到x x一小段中产生的热量为

dQ2 k1 u u1 l x t

dQ

Q，其中 为常数。又假设砼的比热为c，密度为 ，热传导系数为k，求它在浇后温dt

度u满足的方程。

解： 可将水化热视为一热源。由热速度为

Q0 e t

它就是单位时间所产生的热量，因此，由原书71页，(1.7)式得

2

2 u 2u 2u Q0 tk 2 u a ea 222 t y z c c x

4. 设一均匀的导线处在周围为常数温度u0的介质中，试证:在常电流作用下导线的温度满

4k1

u u1 s x t l

ts x t

又在时刻t到t t在截面为x到x x这一小段内由于温度变化所需的热量为

dQ

Q及Qt 0 Q0得Q t Q0e t。由假设，放dt

u

dQ3 c u x,t t u x,t s x c

t

由热量守恒原理得：

u 2u

c ts x t k

t x2

2

xs x t

4k1

u u1 s x t l

消去s x t，再令 x 0， t 0得精确的关系：

u u4k

k2 1 u u1 tl x

2

uk 2u4k12 u4k1

或 u u1 a2 u u1 2 tc xc lc l x

k2

其中 a

c

c

2. 试直接推导扩散过程所满足的微分方程。

解：在扩散介质中任取一闭曲面s，其包围的区域 为 ，则从时刻t1到t2流入此闭曲面的溶质，由dM D

足微分方程

uk 2uk1P0.24i2r

u u0 2 tc xc c

其中i及r分别表示导体的电流强度及电阻系数，表示横截面的周长， 表示横截面面积，而k表

示导线对于介质的热交换系数。

解：问题可视为有热源的杆的热传导问题。因此由原71页(1.7)及(1.8)式知方程取形式为

2

u2 u a f x,t

2 t x

u

dsdt，其中D为扩散系数，得 n

t2

其中a

M

t1

D

s

u

dsdt n

k

,f x,t F x,t /c ,F x,t 为单位体积单位时间所产生的热量。 c

r22

由常电流i所产生的F1 x,t 为0.24ir/ 。因为单位长度的电阻为，因此电流i作功为

2

i2

26

r

浓度由u变到u2所需之溶质为

2

乘上功热当量得单位长度产生的热量为0.24ir/ 其中0.24为功热当量。