差分方程求解
计算机控制系统课件,习题和考试整理的资料
例题：已知差分方程x(k 2) x(1)=2。
51
x(k 1) x(k) r(k+1)+0.5r(k)，其中66
r(k)=1，k≥0，x(0)=1，
(1) 试由迭代法求其全解的前5项；
(2) 分别由古典法求其零输入解、零状态解，以及全解； (3) 用Z变换法求解差分方程。
解：注：解题过程中出现的下标“zi”和“zs”分别表示零输入条件和零状态条件。 1. 迭代法
题目中给出的条件仅仅是零输入初始条件，进行迭代求解时的初始条件应该是全解初始条件。
(1) 零输入初始条件
本题已给出零输入时的两个初始条件xzi(0)=1，xzi(1)=2。
(2) 零状态初始条件
取k=-2时，则x(0) 取k=-1
51
x( 1) x( 2) r( 1) 0.5r( 2)，得xzs(0)=0； 6651
时，则x(1) x(0) x( 1) r(0) 0.5r( 1)，求得xzs(1)=1。
66
(3) 全解初始条件
x(0)= xzi(0)+ xzs(0)=1； x(1)= xzi(1)+ xzs(1)=3。
(4) 根据求出的全解x(0)和x(1)，利用迭代法求解
取k=0时，则x(2) 取k=1取k=22. 古典法
(1) 零输入解
5123x(1) x(0) r(1) 0.5r(0)，求得x(2) ； 66651151
时，则x(3) x(2) x(1) r(2) 0.5r(1)，求得x(3) ；
663651941
时，则x(4) x(3) x(2) r(3) 0.5r(2)，求得x(4) 。
66216
51
x(k 2) x(k 1) x(k) 0 令输入为零，则得齐次方程 66
(a)
51
d 0 66
根据差分方程定义的算子dnx(k) x(k n)，可得它的特征方程d2 求得特征根为：
d1
11
，d2 23
