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统计研究

相关结构引起的风险。要很好地度量组合的整体风险,就要找到一个能将单个违约分布和多元违约联合分布联系起来的方法。统计学上有许多技术可以实现这一点,其中Copula函数(Nelsen,R.B(1998,1999))是一种简单且实用的方法。

本文在前人研究的基础上,着重讨论如何利用Copula函数来进行资产组合的违约相关性度量,并以此为基础,进一步探讨信用衍生品的定价以及资产组合的信用风险管理问题。

的历史数据中获得。易找到每一个信用等级的债券在n年中的总违约概率,然后利用n年总违约概率与每年的条件违约概率之间的函数关系,使用递归方法推导出每年的条件违约概率。第二,使用布莱克一舒尔茨方法,将股票看作一个公司的看涨期权,用这个架构可以获得n期的违约概率,然后将其转换为危险率函数。第三,从现益率,,获得收益率价差曲线(Ypread(,,Copula函数。

　　二、利用Copuls函数度量违约相关性

在度量资产组合的信用风险时,作为衡量资产信用的指标。,,风险的方式11。

,接下来就可以选择一个合适的Copula函数来描述这个组合中每种资产之间的相关结构。在金融领域,一般采用正态

Copula函数和学生氏Copula函数。根据正态Copula函数

的定义,可得到其密度函数:

c(u1,…,uN)=

首先,引入连续随机变量生存时间T(survivaltime),它表示从现在到违约(default)事件发生时的时间长度。引入函数F(t)和S(t),其中F(t)表示在t时刻已经违约的概率,而S(t)则表示在t时刻还没有违约的概率,它也被称为生存函数(survivalfunction)。根据函数的定义,可以得到:

F(t)=Pr(T≤t),S(t)=1-F(t)=Pr(T>t)

|ρ|

2

exp-

T(ρ-I)ζ2

-1

(un),n=1,…,N。同样其中,ζ=(ζ1,…,ζN),ζn=Φ

道理,可以得到学生氏Copula函数的密度函数:

c(u1,…,uN)=

-2

可以看出,F(t)其实就是生存时间T的累积分布函数。

现在来计算一下资产在x时刻没有违约的情况下,在Δx时段内违约的概率:

Pr[x<T≤x+Δx|T>x]=

1-F(x)1-F(x)

|ρ|

2

N

N

1+N

ρ2

ζ-

T-1

-

2

2

Π1+

n=1

2

v

-1

其中,ζn=tv(un),Γ为gamma函数,v为自由度。

Copula函数分布很适合利用蒙特卡罗模拟来实现。

例如,模拟正态Copula函数的步骤如下:

(1)产生均值为0,相关系数矩阵为ρ的正态随机数

≈

其中f(x)是F(t)的密度函数。

定义h(x)=,可以称之为危险率函数

1-F(x)

向量Z1,…,ZN,;

(2)将正态随机变量转换为均匀随机变量:Ui=Φ(Zi),I=1,…,N.

(hazardratefunction),它表示条件违约概率密度。有下列

(3)根据所希望的边缘分布函数转换均匀随机变量:

-1

Xi=Fi(Ui),I=1,…,N.

-1

(u1),这里的Copula函数为:C(u1,…,uN)=Φρ(Φ

等式成立:

h(x)==-1-F(x)S(x)

h

0从而可以得到:S(t)=e-∫

t

…,Φ-1(uN))

(s)ds

。

=

h(x)S(t)

31计算联合违约概率分布。

=

而f(t)

h(x)e

-t

=h(x)(1-F(x))

选定适当的Copula函数以及适当的参数之后,就可以用它来将资产组合中单一资产的信用曲线连接起来,生成一个联合违约概率分布函数,然后进一步计算几种资产在同一时段违约的概率。

假设有两种资产,第一种资产的危险率(HazardRate)为h=011,第二种资产的危险率为h=012。于是,F1(t)

=1-S(t)=1-e

-ht

h(s)ds

0∫。

因此,如果知道危险率函数,就可以计算出生存函数,也可以计算出生存时间的密度函数。

现在定义信用曲线(creditcurve),它是危险率函数的图形表示,代表信用资产在不同时刻的条件违约概率密度。有了信用曲线,就可以计算不同资产的违约相关性。

获得信用曲线的方法一般有三种:第一,从评级机构

=1-e

-011t

,F2(t)=1-e

-012t

。假设

这里采用二维正态分布Copula函数,于是有下列公式: