大学数学

… 2011～2012学年第二学期课程考试试卷（A卷）

………课 程 线性代数与空间解析几何B 考试时间 2012 年 7 月 2 日

……………………注：请将答案全部答在答题纸上，直接答在试卷上无效。………………

…

……一、填空题（每小题3分，满分27分）

……x

yz

2x2y2z

…1、设行列式4

03 6，则行列式4301 _________. ……1

1

1

1

1

1

……2、已知矩阵A满足A2-2A-8E= 0，则(A+E) -1=_____________.

……3、已知向量组 T…1=(1,2,3)T, 2=(3,-1,2), T3=(2,3,k) 线性相关，则常数k =_________.

线… … 5200 ……4、设矩阵A= 2

100

… 0021 ，则A-1

=________________. …

00

1

1

……5、若A、B为5阶方阵，且Ax= 0只有零解，且R(B)=3，则R(AB)=___________. ……6、三元线性方程x1+ x2+ x3=1的通解是_______________. 订…0

b

…7、若矩阵

A= 1

与矩阵B= …

4 3

a

x 相似，则x=_____.

…… 1 ……8、设3元非齐次线性方程组Ax=b有解 1= 2 1 , 2= 2 且R(A)=2，则Ax=b的通解为… … 3 3

…装__________________.

……9、若f (x1, x2, x3)=x21 4x22 4x23 2 x1x2 4x2x3为正定二次型,则 的取值应满足______. ……二、选择题（每小题3分，满分15分）

……

…1、若矩阵A可逆，则下列等式成立的是（ ）

………(A) A=

1…AA*

；(B)A 0；(C)(A2

)

1

(A

1

)

2

; (D)(3A) 1

3A

1

.

………2、若A、B相似，则下列说法错误．．

的是 ( ) …(A) A与B等价；(B)A与B合同；(C) | A |=| B |；

(A) A与B有相同特征值.

…第 1 页，3、设有向量组A： 1, 2, 3, 4，其中 1, 2, 3线性无关，则（ ）

(A) 1, 3线性无关； (B) 1, 2, 3, 4线性无关； (C) 1, 2, 3, 4线性相关 (D) 2, 3, 4线性相关.

4、设A为n阶对称矩阵，B为n阶反对称矩阵，则下列矩阵中为对称矩阵的是( ) (A) AB-BA；(B)AB+BA；(C)AB；(D)BA.

5、设A为m×n矩阵，则n元齐次线性方程组Ax= 0存在非零解的充要条件是（ ）

(A) A的行向量组线性无关； (B) A的行向量组线性相关； (C) A的列向量组线性无关； (D) A的列向量组线性相关.

三、计算题（每小题9分，满分18分）

1

a

00（1）D = 11 ab00 11 bc.

1

1 c

01 （2）设矩阵A=

1

0

20

,而X满足AX+E=A2+X，求X.

16

1

四、应用题（每小题10分，满分20分）

（1）求向量组 1 1,1，1，4 T

， 3，5 T

， TT

2 2,1，3 3,1,5,6 ， 4 1,-1，3， 2 的一个

极大线性无关组，并将其余向量用该极大线性无关组表示出来.

1

0 a （2）设A =

-1

0

20 =

, b -1 ，已知非齐次线性方程组Ax=b存在两个不同

11

-1 1

的解，求（I） ，a的值；（II）Ax=b的通解.

五、证明题（满分8分）设A，B，A+B均为n阶正交矩阵，证明:(A B) 1 A 1 B 1. 六、综合题（满分12分）

2

00 100

设A=

0

3a 的三个特征值分别为1，2，5，求正交矩阵P，使P -1AP = 0

20 .

0a

3

00

5

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