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圆锥曲线的综合应用及其求解策略

有关圆锥曲线的综合应用的常见题型有：①、定点与定值问题；②、最值问题；③、求参数的取值范围问题；④、对称问题；⑤、实际应用问题。

解答圆锥曲线的综合问题，应根据曲线的几何特征，熟练运用圆锥曲线的相关知识，将曲线的几何特征转化为数量关系（如方程、不等式、函数等），再结合代数知识去解答。解答过程中要重视函数思想、方程与不等式思想、分类讨论思想和数形结合思想的灵活应用。 一、定点、定值问题：

这类问题通常有两种处理方法：①、第一种方法：是从特殊入手，先求出定点（或定值），再证明这个点（值）与变量无关；②、第二种方法：是直接推理、计算；并在计算的过程中消去变量，从而得到定点（定值）。 ★【例题1】（2007年高考〃湖南文科〃19题〃13分）已知双曲线x2 y2 2的右焦点为F，过点F的

，0)．动直线与双曲线相交于A、B两点，又已知点C的坐标是(1（I）证明CA〃CB为常数；（II）若动

点M满足CM CA CB CO（其中O为坐标原点），求点M的轨迹方程．

0)，设A(x1，y1)，B(x2，y2)． ◆解：由条件知F(2，

（I）当AB与x轴垂直时，可求得点A、B

的坐标分别为(2

，(2，

，此时则有

CA CB (1 1．

当AB不与x轴垂直时，设直线AB的方程是y k(x 2)(k 1)．代入x2 y2 2，则有

(1 k2)x2 4k2x (4k2 2) 0．则x1，x2是上述方程的两个实根，

4k24k2 2

所以x1 x2 2，x1x2 2，于是

k 1k 1

CA CB (x1 1)(x2 1) y1y2 (x1 1)(x2 1) k2(x1 2)(x2 2)

(k2 1)(4k2 2)4k2(2k2 1)2

4k 1 (k 1)x1x2 (2k 1)(x1 x2) 4k 1 22

k 1k 1

2

2

2

( 4k2 2) 4k2 1 1．

CB为常数 1． ∴ 综上所述，CA

（II）设M(x，y)，则CM (x 1，y1)，CB (x2 1，y2)，CO ( 1，，y)，CA (x1 10)，由 x 1 x1 x2 3， x1 x2 x 2， x 2y CM CA CB CO得： 即 于是AB的中点坐标为 ．

y y yy y y22 12 12