高考数学复习资料

高中数学复习 6、圆与直线 圆与圆综合

典型例题

例1.已知两定点A (－2,0)，B (1,0)，如果动点P 满足|P A |＝2|PB |，则点P 的轨迹所包围的图形的面积等于( )

A ．π

B ．4π

C ．8π

D ．9π

解析：.设P (x ，y )，由题知有：(x ＋2)2＋y 2＝4[(x －1)2＋y 2]，整理得x 2－4x ＋y 2＝0，配方得(x －2)2＋y 2＝4.可知圆的面积为4π，故选B.

例2．(2009年高考广东卷)以点(2，－1)为圆心且与直线x ＋y ＝6相切的圆的方程是________．

解析：将直线x ＋y ＝6化为x ＋y －6＝0，圆的半径r ＝|2－1－6|1＋1

＝52，所以圆的方程为(x －2)2＋(y ＋1)2＝252.

例3．已知圆x 2＋y 2＋2x －4y ＋a ＝0关于直线y ＝2x ＋b 成轴对称，则a －b 的取值范围是________．

解析：圆的方程变为(x ＋1)2＋(y －2)2＝5－a ，

∴其圆心为(－1,2)，且5－a ＞0，即a ＜5.

又圆关于直线y ＝2x ＋b 成轴对称，

∴2＝－2＋b ，∴b ＝4.∴a －b ＝a －4＜1.

答案：(－∞，1)

例4．已知圆x 2＋y 2＝4上一定点A (2,0)，B (1,1)为圆内一点，P ，Q 为圆上的动点．

(1)求线段AP 中点的轨迹方程；

(2)若∠PBQ ＝90°，求线段PQ 中点的轨迹方程．

解：(1)设AP 中点为M (x ，y )，

由中点坐标公式可知，P 点坐标为(2x －2,2y )．

∵P 点在圆x 2＋y 2＝4上， ∴(2x －2)2＋(2y )2＝4.

故线段AP 中点的轨迹方程为(x －1)2＋y 2＝1.

(2)设PQ 的中点为N (x ，y )，

在Rt △PBQ 中，|PN |＝|BN |，

设O 为坐标原点，则ON ⊥PQ ，

所以|OP |2＝|ON |2＋|PN |2＝|ON |2＋|BN |2，

所以x 2＋y 2＋(x －1)2＋(y －1)2＝4.

故线段PQ 中点的轨迹方程为x 2＋y 2－x －y －1＝0.

例5 如图所示，已知圆42

2=+y x O ：与y 轴的正方向交于A 点，点 B 在直线2=y 上运动，过B 做圆O 的切线，切点为C ，求ABC 垂心H 的轨迹． 分析：按常规求轨迹的方法，设),(y x H ，找y x ,的关系非常难．由于H 点随B ，C 点运动而运动，可考虑H ，B ，C 三点坐标之间的关系．

解：设),(y x H ，),(''y x C ，连结AH ，CH ，