2008年全国高中数学联合竞赛加试试题参考答案及评分标准A
数学竞赛
2008年全国高中数学联合竞赛加试（A卷）
试题参考答案及评分标准
说明：
1．评阅试卷时，请严格按照本评分标准的评分档次给分；
2．如果考生的解答方法和本解答不同，只要思路合理、步骤正确，在评卷时可参考本评分标准适当划
分档次评分，10分为一个档次，不要增加其他中间档次．
一、（本题满分50分）
如题一图，给定凸四边形ABCD， B D 180 ，P是平面上的动点，令
f(P) PA BC PD CA PC AB
．
（Ⅰ）求证：当f(P)达到最小值时，P,A,B,C四点共圆； （Ⅱ）设E是 ABC外接圆O的 AB上一点，
BCEC
1， ECB
12
AEAB
2
ECA，又DA,DC是
O的切线，
AC
f(P)的最小值．
答一
图
二、（本题满分50分）
设f(x)是周期函数，T和1是f(x)的周期且0 T 1．证明： （Ⅰ）若T为有理数，则存在素数p，使
1p
是f(x)的周期；
（Ⅱ）若T为无理数，则存在各项均为无理数的数列{an}满足1 an an 1 0
(n 1,2 , )且每个an，
(n 1,2, )都是f(x)的周期．
三、（本题满分50分）
设ak 0，k 1,2, ,2008．证明：当且仅当 ak 1时，存在数列{xn}满足以下条件：
k 12008
（ⅰ）0 x0 xn xn 1，n 1,2,3, ； （ⅱ）limxn存在；
n
（ⅲ）xn xn 1
20082007
k
a
k 1
xn k
a
k 0
k 1
xn k，n 1,2,3, ．
