偏微分方程的热传导方程

热方程

1．1简介

我们今天要讨论的基本问题的解决方案涉及部分差速器壳体等式中,这类问题在各个领域出现的科学和 工程。一个偏微分方程（PDE）是一个数学方程含有偏导数，例如

u u 3 0 （1.1.1） t x

我们可以开始我们的研究，通过确定哪些函数u(x,t)满足（1.1.1）。但是，我们更愿意通过调查物理问题开始。我们这样做原因有两个。第一，我们的数学技术可能会对你很实用当它变得清晰，这些方法分析物理问题；第二，我们实际上会发现物理的考虑对我们的数学发展有很大的激励。

许多不同的学科领域工程和物理科学以偏微分方程的研究为主。没有列表可能是可以全部包含在内的。然而，以下的例子给你的感觉是不同类型领域都高度依赖偏微分方程研究：声学，空气动力学，弹性力学，电动力学，流体动力学，地球物理学 (地震波传播），换热设备， 气象学，海洋学，光学，石油工程，等离子体物理（离子液体和气体），量子力学。

我们将会按照一定的应用数学哲学分析的一个问题将会有三个阶段:

1. 构想规划

2. 解决方案

3. 详细解释

我们首先拟定描述的传球热能的热流量方程。热能是由分子物质搅拌引起的。热能移动的顺序发生的两个基本流程：传导和对流。在其中的一个分子的振动动能被转移到最相邻分子传导结果。因此，热能被传导即使分子本身并不移动自己的位置。此外，如果一个振动的分子从一个区域移动到另一个，伴随着热能。这种类型的热能运动被称为对流。以相对简单的问题开始我们的研究，我们学习热流仅仅是因为热能的传导比对流更为重要。因此，我们会觉得热流量主要是在固体的情况下。虽然热传递在流体(液体和气体)也主要是通过传导如果流体速度足够小。

1.2 在一维棒中的热传导的取得

1、热能量密度 我们首先考虑杆变截面积A在x 方向 （从x 0，则 x L) 如图中所示。1.2.1我们临时地以相当数量热能每个单位体积作为一未知变量，并且称它热能密度：

e(x,t) 热能量密度。

我们假设所有散热数量都是恒定在一个部分；棒是一维的。这是可能实现的最简单方法是完全绝缘杆的侧表面面积。然后没有热能可以通过侧面。x和t的依赖于杆不均匀加热的情况；从一个横截面各有不同的热能量密度。

图1.2.1一维杆的热能量进和出的薄切片

2、热方程 第一章

热能 我们考虑一片薄杆包含的x和 x Ax如图1.2.2所示。如果散热能量密度是一个常量，然后在切片中的总能量是热的能量密度和体积的产物。一般情况下，能量密度不是恒定的。然而，如果 x非常