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拉普拉斯方程

拉普拉斯方程

拉普拉斯方程
　　 拉普拉斯方程（Laplace equation）
　　拉普拉斯方程表示液面曲率与液体压力之间的关系的公式。一个弯曲的表面称为曲面，通常用相应的两个曲率半径来描述曲面，即在曲面上某点作垂直于表面的直线，再通过此线作一平面，此平面与曲面的截线为曲线，在该点与曲线相重合的圆半径称为该曲线的曲率半径R1。通过表面垂线并垂直于第一个平面再作第二个平面并与曲面相交，可得到第二条截线和它的曲率半径R2，用 R1与R2可表示出液体表面的弯曲情况。若液面是弯曲的，液体内部的压力p1与液体外的压力p2就会不同，在液面两边就会产生压力差△P= P1- P2，其数值与液面曲率大小有关，可表示为：
　　在数理方程中，拉普拉斯方程为：△u=d^2u/dx^2+d^2u/dy^2=0，其中△为拉普拉斯算子，此处的拉普拉斯方程为二阶偏微分方程。三维情况下，拉普拉斯方程可由下面的形式描述，问题归结为求解对实自变量 x 、 y 、 z 二阶可微的实函数φ ：
　　上面的方程常常简写作：
　　或
　　其中div表示矢量场的散度（结果是一个标量场），grad表示标量场的梯度（结果是一个矢量场），或者简写作：
　　其中Δ称为 拉普拉斯算子 .
　　拉普拉斯方程的解称为 调和函数 。
　　如果等号右边是一个给定的函数 f ( x , y , z )，即：
　　则该方程称为 泊松方程 。 拉普拉斯方程和泊松方程是最简单的椭圆型偏微分方程。偏微分算子或Δ（可以在任意维空间中定义这样的算子）称为 拉普拉斯算子 ，英文是 Laplace operator 或简称作 Laplacian 。
　　拉普拉斯方程的 狄利克雷问题 可归结为求解在区域 D 内定义的函数φ，使得在 D 的边界上等于某给定的函数。为方便叙述，以下采用拉普拉斯算子应用的其中一个例子——热传导问题作为背景进行介绍：固定区域边界上的温度（是边界上各点位置坐标的函数），直到区域内部热传导使温度分布达到稳定，这个温度分布场就是相应的狄利克雷问题的解。
　　拉普拉斯方程的 诺伊曼边界条件 不直接给出区域 D 边界处的温度函数φ本身，而是φ沿 D 的边界法向的导数。从物理的角度看，这种边界条件给出的是矢量场的势分布在区域边界处的已知效果（对热传导问题而言，这种效果


便是边界热流密度）。
　　拉普拉斯方程的解称为 调和函数 ，此函数在方程成立的区域内是解析的。任意两个函数，如果它们都满足拉普拉斯方程（或任意线性微分方程），这两个函数之和（或任意形式的线性组合）同样满足前述方程。这种非常有用的性质称为叠加原理。可以根据该原理将复杂问题的已知简单特解

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