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2.3不等式的证明方法之三：反证法教案

课

题： 第 03 课时

不等式的证明方法之三：反证法

教学札记

教学目标： 通过实例，体会反证法的含义、过程与方法，了解反证法的基本步骤，会用反证法证明 简单的命题。 教学重点：体会反证法证明命题的思路方法，会用反证法证明简单的命题。 教学难点：会用反证法证明简单的命题。 教学过程: 一、引入： 前面所讲的几种方法，属于不等式的直接证法。也就是说，直接从题设出发，经过一系 列的逻辑推理，证明不等式成立。但对于一些较复杂的不等式，有时很难直接入手求证，这 时可考虑采用间接证明的方法。所谓间接证明即是指不直接从正面确定论题的真实性，而是 证明它的反论题为假，或转而证明它的等价命题为真，以间接地达到目的。其中，反证法是 间接证明的一种基本方法。 反证法在于表明：若肯定命题的条件而否定其结论，就会导致矛盾。具体地说，反证法 不直接证明命题“若 p 则 q” ,而是先肯定命题的条件 p,并否定命题的结论 q,然后通过合 理的逻辑推理，而得到矛盾，从而断定原来的结论是正确的。 利用反证法证明不等式，一般有下面几个步骤： 第一步 分清欲证不等式所涉及到的条件和结论； 第二步 作出与所证不等式相反的假定； 第三步 从条件和假定出发，应用证确的推理方法，推出矛盾结果； 第四步 断定产生矛盾结果的原因， 在于开始所作的假定不正确， 于是原证不等式成立。 二、典型例题： 例 1、已知 a b 0 ,求证： n a n b ( n N 且 n 1 ) 例 1、设 a b 2 ,求证 a b 2. 3 3

证明：假设 a b 2 ,则有 a 2 b ,从而

a 3 8 12b 6b 2 b 3 , a 3 b 3 6b 2 12b 8 6(b 1) 2 2. 2 因为 6(b 1) 2 2 ,所以 a b 2 ,这与题设条件 a b 2 矛盾，所以， 3 3 3 3

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