平面曲线的曲率

一、曲率及其计算公式

曲线弯曲程度的直观描述

设曲线C是光滑的在曲线C上选定一点M 0作为度量弧s 的基点设曲线上点M 对应于弧s 在点M处切线的倾角为曲线上另外一点N对应于弧s s 在点N处切线的倾角为

度

记K 称K为弧段MN的平均曲率 s| |我们用比值| s| 即单位弧段上切线转过的角度的大小来表达弧段MN的平均弯曲程

记K lim 称K为曲线C在点M处的曲率 s 0 s

在lim d 存在的条件下 K d s 0 sdsds

曲率的计算公式

设曲线的直角坐标方程是y f(x) 且f(x)具有二阶导数（这时f (x)连续从而曲线是光滑的）因为tan y 所以

sec 2 d y dx y y y dx dx dxsec2 1 tan2 1 y 2 d

又知ds y 2dx 从而得曲率的计算公式 K |y |d ds(1 y 2)3

例1 计算直线y a x b上任一点的曲率

例2 计算半径为R的圆上任一点的曲率

讨论

1 计算直线y a x b上任一点的曲率

提示: 设直线方程为y ax+b, 则y a, y 0. 于是K 0.

2. 若曲线的参数方程为x (t), y (t)给那么曲率如何计算？提示 K | (t) (t) (t) (t)|

[ 2(t) 2(t)]3/2

3 计算半径为R的圆上任一点的曲率

提示圆的参数方程为x R cos t y R sin t

例1. 计算等双曲线x y 1在点(1 1)处的曲率

解由y

y 1 得 x21y x2x3

因此 y |x 1 1 y |x 1 2

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