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圆锥曲线中的定点、定直线、定值专题

1.已知椭圆C的中心在坐标原点，焦点在x轴上，椭圆C上的点到焦点距离的最大值为3，最小值为1。

⑴求椭圆C的标准方程；

⑵若直线l:y kx m与椭圆C相交于A,B两点（A,B不是左右顶点），且以AB为直径的圆过椭圆C的右顶点，求证：直线l过定点，并求出该定点的坐标。

x2y2

【解析】由题意设椭圆的标准方程为2 2 1(a b 0)a c 3,a c 1,a 2,c 1,b2 3，

ab

22xy 1 43

y kx m

⑵设A(x1,y1),B(x2,y2)，由 x2y2得(3 4k2)x2 8mkx 4(m2 3) 0，

1

43

8mk4(m2 3)222222

， 64mk 16(3 4k)(m 3) 0,3 4k m 0 x1 x2 ,x1 x2

3 4k23 4k2

3(m2 4k2)22

y1 y2 (kx1 m) (kx2 m) kx1x2 mk(x1 x2) m , 以AB为直径的圆过椭圆的2

3 4k

yy

右顶点D(2,0),kAD kBD 1, 1 2 1，(最好是用向量点乘

x1 2x2 2

3(m2 4k2)4(m2 3)16mk22

来)y1y2 x1x2 2(x1 x2) 4 0, 4 0,7m 16mk 4k 0， 222

3 4k3 4k3 4k

2k

，解得m1 2k,m2 ，且满足3 4k2 m2 0。

7

①当m 2k时，l:y k(x 2)，直线过定点(2,0)与已知矛盾；

2k22

②当m 时，l:y k(x )，直线过定点(,0)。

777

2

综上可知，直线l过定点，定点坐标为(,0)。

7

2.已知椭圆C

的离心率e ，长轴的左右端点分别为A1( 2,0),A2(2,0)。⑴求椭圆C的方程；

⑵设直线x my 1与椭圆C交于P,Q两点，直线A1P与A2Q交于点S。试问：当m变化时，点S是否恒在一条定直线上？若是，请写出这条直线方程，并证明你的结论；若不是，请说明理由。

x2y2c【解析】设椭圆C

的方程为2 2 1(a b 0), a 2,e c b2 a2 c2 1, 椭圆

aba2

x2

C的方程为2 y2 1。

4 ,Q1,⑵取m

0得P ，直线的方程是A2Q

的方程是AP

y 1 1,,Q

交点为S1，

若P ，

由对称性可知交点为S2(4,，若点S

在同一条直线上，则直线只能为l:x 4。以下证明对于任意的m直线A1P与直线A2Q的交点S均在

y

x22

y 1

直线l:x 4上。事实上，由 4得(my 1)2 4y2 4，即(m2 4)y2 2my 3 0，记

x my 1