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已知数列递推公式求通项公式的几种方法

求数列通项公式的方法

一、公式法

例1 已知数列{an}满足an 1 2an 3 2n，a1 2，求数列{an}的通项公式。

an 1an3an 1an3an

{是，则，故数列n 1nn 1nn

2222222

an3a23

1 1 (n 1)以1为首项，以为公差的等差数列，由等差数列的通项公式，得，21222n2

31n

所以数列{an}的通项公式为an (n )2。

22

解：an 1 2an 3 2n两边除以2

n 1

，得

评注：本题解题的关键是把递推关系式an 1 2an 3 2n转化为

an 1an3

n ，说明数列n 1

222

aan3{n 1 (n 1)是等差数列，再直接利用等差数列的通项公式求出，进而求出数列nn222

{an}的通项公式。

二、累加法

例2 已知数列{an}满足an 1 an 2n 1，a1 1，求数列{an}的通项公式。 解：由an 1 an 2n 1得an 1 an 2n 1则

an (an an 1) (an 1 an 2) (a3 a2) (a2 a1) a1

[2(n 1) 1] [2(n 2) 1] (2 2 1) (2 1 1) 1

2[(n 1) (n 2) 2 1] (n 1) 1(n 1)n 2 (n 1) 1

2

(n 1)(n 1) 1 n2

所以数列{an}的通项公式为an n。

评注：本题解题的关键是把递推关系式an 1 an 2n 1转化为an 1 an 2n 1，进而求出(an an 1) (an 1 an 2) (a3 a2) (a2 a1) a1，即得数列{an}的通项公式。

2

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