圆的方程例题讲解
圆的方程例题讲解
圆的方程例题讲解
例1 已知与圆C：x2+y2-2x-2y+1=0，相切的直线l交x轴、y轴分别于A，B点，设O为原点，|OA|=a，|OB|=b(a＞2，b＞2)．
(1)求证圆C与直线l相切的充要条件是(a-2)(b-2)=2；
(2)求线段AB中点的轨迹方程；
(3)求△AOB面积的最小值．
解 (1)因为l与圆心相切，且a＞2，b＞2，所以可设直线l的方
评述 讲解本题的目的，是为了锻炼学生解决综合题的能力，其中第(1)小题被反复应用多次，特别是(3)建立在(1)的基础上的恒等变形技巧值得借鉴．
例2 AB为定圆的直径，C为该圆上异于A，B的任一点，l为过C点的圆的切线，过B引BP⊥l，且交AC的延长线于P，求点P的轨迹．
解法一 如图4所示，以圆心O为原点，AB所在的直线为x轴，建立坐标系，则定圆方程为x2+y2=r2．
(因为C是动点，点P因点C动而动，故可)设P点坐标为(x，y)，C点坐标为(x1，y1)．(P点是直线AC，BP的交点，所以P点受直线AP和BP的制约，因此建立直线AP与BP的方程，来确定P点与C点坐标之间的关系式．
)
因为C点不与点A，B重合，所以y1≠0，由过C点的切线l的方程为x1x+y1y=r2，直线BP⊥l，所以y1x-x1y-y1r=0①，点P在直线AC
=r2，即(x-r)2+y2=4r2(y≠0)即为所求P点的轨迹方程，其轨迹要除去x轴上的两个点．
评述 本题特点是动点P随着相关点C的运动而运动，如果能用动点P的坐标(x，y)，表示相关点C的坐标(x1，y1)，则按照相关点C所满足的条件列出方程，就能得动点P的轨迹方程．这种方法通常称为相关点法，在解析几何中经常用到，应给予足够的重视．
解法二 因为BP⊥l，OC⊥l，所以OC∥BP．因此|BP|=2|OC|=2r．
这说明当点C运动时，动点P距定点B的距离总等于常数2r．根据定义可得到：P点轨迹是以点B(r，0)为圆心，以2r为半径的圆．因为C点不与A，B点重合，所以y≠0，所以点P的轨迹方程为(x-r)2+y2=4r2(y≠0)．
