空间几何中的直线与平面问题

在三维空间里，直线和面是最基本也是最常用的几何对象。我们常

常需要回答这样一些问题：两条直线是相交、平行还是错位（异面）？直线与平面是否相交，若相交交点在哪儿？两条不在同一平面的直线

之间有多远的距离？把这些问题放在代数的框架里，又该如何用方程、向量和数值来解决？这些问题看似抽象，实则应用广泛，涉及到计算

机图形、建筑设计、机械制造等领域的基础知识。下面我尽量用通俗

的语言，把核心概念、基本工具以及常见题型讲清楚，并通过具体例

子来展示解题的思路和步骤。

一、基本概念与常见关系

在空间中，直线可以用方向向量和经过点来描述；平面可以用法向

量和一个已知点来描述。常见的关系有三类：相交、平行、异位（错位、异面）。如果两条直线在空间中不相交且不共面，它们就是异面

直线；如果两条直线有一个公共点，它们相交；如果它们没有公共点

但处于同一个平面内，则是平行或共线。理解这三者的关键，是把几

何关系转化为代数条件。

二、直线与平面的方程与基本表示

直线的常用表示有三种：参数式、对称式和向量式。设直线经过点

P0 的位置向量为 r0，方向向量为 d，则直线的向量式可以写成 r ＝ r0

＋ t d，其中 t 是实数参数；把坐标分量展开，就是 x ＝ x0 ＋ a t，y ＝

y0 ＋ b t，z ＝ z0 ＋ c t；其中 d ＝（a, b, c) 是直线的方向向量。若你

愿意用对称式，可以把参数消去得到（x x0)／a ＝（y y0)／b ＝（z

z0)／c，但当某一个分量为零时，对称式需要相应处理。

平面的方程通常写成 ax ＋ by ＋ cz ＋ d ＝ 0，其中法向量 n ＝（a, b, c) 就是平面的方向垂直向量。若已知平面上某点 P1 的坐标和法向量