苏教版选修4-2 矩阵与变换

第11课 特征值与特征向量（重点）

【学习目标】

了解矩阵的特征值与特征向量；理解特征多项式，会求特征多项式； 【本章重点】

二阶矩阵的特征值与特征向量的概念、二阶矩阵的特征值与特征向量的求法及二阶矩阵特征向量的性质. 【本章难点】

二阶矩阵特征值与特征向量的计算及An (n N )的简单表示和它的简单应用

【教材解读】

【问题引入】前面我们学习了二阶矩阵与平面列向量的乘法，如果M

a c

b d

，

e ，那么M f

50

等于多少？按

照前面学习的方法，我们要计算很多次，有没有较为简单的方法呢？学习完本章你就知道了. 一、 特征值与特征向量的概念

设A是一个二阶矩阵，如果对于实数 ，存在一个非零向量 ，使得A ，那么 称为A的一个特征值，而 称为A的属于特征值 的一个特征向量. 注：（1）特征向量必须是非零向量.

（2）特征值与特征向量是相伴出现的，

（3）如果向量 是矩阵A的属于特征值 的一个特征向量，则对任意的非零实数k，k 也是矩阵A的属于特

征值 的特征向量.

（4）属于一个矩阵的不同特征值的特征向量是不共线的. （5）并非所有的二阶矩阵都有特征向量. 二、 特征多项式

a b ab 2

设A 是一个二阶矩阵， R，我们把行列式f( ) (a d) ad bc称为矩阵A的

c dcd 特征多项式.

三、 特征值与特征向量的计算

设 是二阶矩阵A

ab

的特征值， 为 的特征向量，求 和 的步骤为： cd

第1步：令矩阵A的特征多项式f( )

a

c

b

d

2

(a d) ad bc 0.求出 的值（最多有2个）.

第2步：将 的值代入二元一次方程组

于是非零向量

( a)x by 0 cx ( d)y 0

，（或

a

cb x x x

）得到一组非零解0，

d y y y0

x0

即为矩阵A的属于特征值 的一个特征向量. y0

例1. 求矩阵A

10

的特征值和特征向量 0 1

解：矩阵A的特征多项式为f( )

1

c

b

1

( 1)( 1)

令f( ) 0，解得矩阵A的特征值 1 1, 2 1

0 x 0 y 0 x为任意非零实数

0 x ( 1)y 00 x 2y 0y 0

1

任取x 1，则矩阵A的属于特征值 1 1的一个特征向量为

0

将 1 1代入二元一次方程组

( 1)x y 0

将 1 1代入二元一次方程组

( 1)x y 0

2x 0 y 0 x 0

0 x ( 1)y 0 0 x 0 y 0 y为任意非零实数

1

任取y 1，则矩阵A的属于特征值 1 1的一个特征向量为 0 所以，矩阵A

1 0 10

的特征值为1和-1，分别对应的一个特征向量是，

010 1