考点35 直线、平面平行的判定及其性质
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考点35 直线、平面平行的判定及其性质
1.(2013·浙江高考理科·T20)如图,在四面体A-BCD中,AD⊥平面BCD,BC⊥
CD,AD=2,BD=是AD的中点,P是BM的中点,点Q在线段AC上,且
AQ=3QC.
(1)证明:PQ∥平面BCD.
(2)若二面角C-BM-D的大小为60°,求∠BDC的大小.
【解题指南】(1)要证PQ∥平面BCD,所以要在平面BCD中找到一条线与PQ平行,因为有中点,可以联想一下中位线;(2)首先要找到二面角C-BM-D的平面角,再根据垂直关系在直角三角形中解决.
【解析】(1)取BD的中点O,在线段CD上取点F,使得DF=3FC,连结OP,OF,FQ, 因为AQ=3QC,所以QF∥AD,且QF=AD.
因为O,P分别为BD,BM的中点,所以OP为△BDM的中位线,所以OP∥DM,且OP=DM,由点M为AD的中点,所以OP∥AD,且OP=AD, 从而OP∥QF,且OP=QF,
所以四边形OPQF为平行四边形,故PQ∥OF. 又PQ 平面BCD,OF 平面BCD,
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