由①得（Ｅ＋Ｅ＋＾）／Ｅ＞３，

用杠杆原理

Ｅ／（曩＋五＋窍）＜ｌ／３，

④解决线段的比的问题

同理五／（４＋互十五）＜１／３，⑤Ｅ／（曩＋Ｅ＋Ｅ）＜１／３，

⑥

福建福州三十七中吴建春

将④⑤⑥左右两边分别相加得Ｅ／（Ｅ＋Ｅ＋Ｅ）＋Ｅ／（曩＋Ｅ＋Ｅ）＋

众所周知，在几何证明题中，与线段的比Ｅ／（曩＋五＋Ｅ）＜１／３＋１／３＋ｌ／３

有关的问题往往较难，常常需添辅助线．但是得１＜１矛盾，所以Ｐ，ＰｌＰＱ，，Ｐ，Ｐ／尸Ｑ２，ＰｓＰＩＰＱ３我１＂ｆＪ女ｎ果能巧妙地应用物理学中的杠杆原理，不能全大于２，也不能全小于２，命题得证．

不但不用添辅助线，甚至可以将图形简化，达例２设Ａ．、Ｂｉ、Ｃｉ分别是ａＡＢＣ三边

到化繁为简的目的．现在先把杠杆原理叙述ＢＣ、ＣＡ、ＡＢ上的

一下，然后说明应用的方法．设ＡＢ是一根均匀点且满足ＡＣ．：Ｃ．Ｂ＝

的木棍，０是支点，现在Ａ端受力为Ｆ，力臂为ｘ，ＢＡｌ：Ａ１Ｃ＝ｙ，ＣＢＩ：厶，曰端受力为最，力臂为厶，则由物理学可知ＢｉＡ＝ｚ，ａ

ＡＢＣ的面

Ｅ／Ｅ＝Ｌ：／Ｌ。，瓦＝Ｅ＋五．下面看几道例子．

积为ｓ，求三条边分别

例１已知ａ只只只及其内一点Ｐ．直线落在觚、ＢＢＩ、ＣＣｌ

０Ｐ、罡Ｐ、只尸分别交对边Ｐ：４，４４，只￡于ｒ上的三角形面积（第三届友谊杯国际邀请赛）．

ｇ，Ｑ２，Ｑ３，求证：在比值４Ｐ／？Ｑ，，６Ｐ／ｐＱ，，分标ｓ¨ＲＤ＋ｓ僦Ｅ＋ｓ认ｃＦ＋ｓ～ＤＥＦ

只户／尸Ｑ３中，至少有一个不大于２，也至少有一个不小于２（第三届国际数学奥林匹克试题）

要求ｓｍ盼冠炼ｓ螂，，ｓ州Ｅ，ｓ蚍Ｆ丽

２ｓｕ毗，

这三个三角形地位相同，只要求一个即可，不

证明在只、只、只处分别放上质量为妨先求 ％肋，

Ｅ、Ｅ‘、Ｅ的三个质点，由杠杆原理，Ｑｌ、Ｑ、因为ｓ¨啪｝Ｓ执８ｔ＝ＢＤ／ＢＢＩ，

Ｑ３受力分别为‘＋Ｅ，曩＋只，曩＋Ｅ，从而

只Ｐ／尸ＱＩ＝（Ｅ＋Ｅ）／ｆ，只尸／尸Ｑ 屯８髓／ ％盯．＝Ｂ，Ａ／ＣＡ＝ｌ／（１＋ｚ），

＝（Ｅ＋Ｅ）／Ｅ，只Ｐ／ＰＱ３＝（曩＋Ｅ）／Ｅ．

所以屯肋／屯Ｂ（＇＝（ＢＤＩＢＢ，）［１／（１＋ｚ）】，７．ＰｌＰｉＰＱｌ＋Ｐ，Ｐ／ＰＱ２＋％Ｐ｛ＰＱ，屯肋＝【ｌ／（１＋ｚ）］（ＢＤ／ＢＢ，）Ｓ，

＝（‘＋只）／曩＋（ｆ＋Ｅ）／五＋（Ｅ＋‘）／Ｅ

现在问题转成求ＢＤ／ＢＢＩ，即求线段的比，＝Ｅ／曩＋鼻／Ｅ＋Ｅ／Ｅ＋Ｅ／Ｅ

可以考虑用杠杆原理，不过线段ＢＢＩ，有四个＋Ｅ，只＋Ｅ／曩

特殊点，我们可以将线段Ｃ，Ｃ拿掉，使图形简

≥２４（Ｆ２／巧）（只／Ｅ）＋２√（厅／‘）（‘／Ｅ）

化阎为础：Ａ，Ｃ＝Ｙ，根据杠杆原理在Ｃ处放

＋２４（Ｒ，／Ｅ）（Ｅ／ｆ）＝６．

一个质量为ｙ，在Ｂ处放一质量为１的质点，的质点，又由ＣＥ：Ｂ．Ａ＝ｚ，可在Ａ处放一质量由此易知４７／’尸Ｑ１，Ｅ尸／ＰＱ２，Ｂ尸，尸Ｑ３不为互ｙ的质点，则在线段ＡＣ上Ｅ处合力为能全小于２．若只尸／Ｐｇ，ｐ：Ｐ／ＰＱ：，只Ｐ／尸Ｑ全大于２，即

（ｚｙ＋Ｙ），所以ＢＤＩＢｔＤ＝（ｚｙ＋Ｙ）１１，

所以ＢＤ／ＢｉＢ＝（砂＋ｙ）／（ｚｙ＋Ｙ＋１），（Ｅ＋Ｅ）／曩＞２，①从而ＩＳ＿ＭｅＤ＝【１／（１＋：）】【（ｚ＋１）），／（刁，－卜ｙ＋１）】ｓ

（曩＋Ｅ）／五＞２，②＝ｙｓ／（ｚｙ＋Ｙ＋１）．

（Ｅ＋Ｅ）／只＞２，

③

同理瓯肼，Ｅ＝ｚＳ／（ｘｚ＋ｚ＋１）．，

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