介绍了固体力学中的数值计算方法及其发展

2 传统解析方法

传统的解析方法是固体力学发展初期所采用的一种计算求解方法，这一方法所解决的主要是一些简单的弹性力学问题、稳定问题以及后来出现极少的塑性力学问题。除了少数简单问题可以由基本方程和边界条件直接求出解函数之外，多数能求得解析解的问题往往借助于一些专门的数学手段和工具，具有代表性的包括应力函数法、试凑法（反逆和和半逆法）以及复变函数法等。

2.1 应力函数法

艾雷（Airy, G. B.）在1862年发表的一篇有关矩形截面梁的截面应力分布问题的论文中首次用到了应力函数[8]。虽然艾雷的研究并不完全，但他开创了求解弹性问题的应力函数方法。随后麦克斯维（Maxwell, J. C.）在1890年改进了这一方法，建立了求解应力函数的微分方程[9]。后来，莫雷拉（Morera, G.）和普朗特（Prandtl, L.）又进一步完善了这一方法[10]。应力函数法的基本思想是，在以应力为未知量的B-M方程中引入某些函数，这样就把待求问题转化成求解以这些函数所表示的调和方程，这些引入的函数就是应力函数，它们自动满足平衡方程，其偏导数的组合即为应力分量。

应力函数法的出现进一步推动了弹性理论的发展，同时也使研究对象逐渐从各向同性体扩展到各向异性体。列赫尼茨基（Лехницкий, С. Г.）在1947年出版的专著《各向异性板》（Anisotropic Plates）中利用应力函数法求解了多种正交各向异性平面问题，包括举行矩形截面梁、方板、圆板以及孔板等[11]。应力函数法是后来发展起来的多种固体力学解析求解方法的基础。

2.2 试凑法

试凑法是由圣维南（Saint-Venant, B.）在1853年提出的用于求解柱形杆扭转及弯曲问题的一种解析方法[8]。后来乐甫（Love, A. E. H.）在20世纪初进一步将这一方法与位势理论结合，给出了三维L-N方程的一般位移解[9]。试凑法目前一般分为两类：反逆法和半逆法，可以用于求解柱形杆扭转或弯曲问题、平面问题、以及空间问题等。反逆法的基本思想是先找出微分方程的一个特解，然后根据微分反演出边界条件。半逆法的基本思想是根据边界条件假设一个能部分或全部满足边界条件或基本方程的解函数，其中包含了一些待定系数，然后调整这些待定系数使其满足所有边界条件和域内方程。试凑法求解柱形杆扭转问题是一般是以应力函数为基础的，使用试凑法的关键是要选择合适的解函数（位移函数或应力函数），有时会需要将解函数展开成三角级数（傅立叶级数）或幂级数的形式，这些解最终是由无穷级数来表示的。

在固体力学发展的早期，很多弹性问题都是通过试凑法与应力函数法相结合解决的，但随着一些数值求解方法的出现，试凑法的应用已经减少，但这一方法仍是后来进一步发展的解析－数值结合方法的基础。由于试凑法经常会受到截面及边界形状的限制，此时复变函数法就成了另一种有效的求解方法。

2.3 复变函数法

在固体力学发展的早期，许多重要的弹性平面问题都是通过复变函数方法解出，这种方法先由哥罗索夫（Колосов, Г. В.）在1910年的论文集中给出来，此后陆续有一些研究者利用复变函数法求解了多种带有圆孔或椭圆孔板的问题，穆斯海里什维里（Муселишвили, Н.