2011年高考数学最后压轴大题系列--解析几何
2011年高考数学最后压轴大题系列-解析几何
1. 直线l:y kx 1与双曲线C:2x2 y2 1的右支交于不同的两点A、B. （Ⅰ）求实数k的取值范围；
（Ⅱ）是否存在实数k，使得以线段AB为直径的圆经过双曲线C的右焦点F？若存在，求
出k的值；若不存在，说明理由.
解：（Ⅰ）将直线l的方程y kx 1代入双曲线C的方程2x2 y2 1后,整理得
(k2 2)x2 2kx 2 0.……①
k2 2 0,
22
(2k) 8(k 2) 0,
22k 0
依题意，直线l与双曲线C的右支交于不同两点，故 k 2
2
0. 2
k 2
解得k的取值范围是 2 k 2.
（Ⅱ）设A、B两点的坐标分别为(x1,y1)、(x2,y2)，则由①式得
2k
x x ,122 2 k
……②
x x 2.22 k2 2
假设存在实数k，使得以线段AB为直径的圆经过双曲线C的右焦点F（c,0）. 则由FA⊥FB得：
(x1 c)(x2 c) y1y2 0.
即(x1 c)(x2 c) (kx1 1)(kx2 1) 0.整理得
(k2 1)x1x2 (k c)(x1 x2) c2 1 0.……③ 把②式及c
6
代入③式化简得 2
5k2 26k 6 0.
6 6 或k ( 2, 2)(舍去). 556 6
可知k 使得以AB为直径的圆经过双曲线C的右焦点.
5解得k
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