高数考研中有关曲线积分问题的求解方法

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２００９　　ＮＯ．３６

ＳＣＩＥＮＣＥ　＆　ＴＥＣＨＮＯＬＯＧＹ　ＩＮＦＯＲＭＡＴＩＯＮ

科　技　教　育

高数考研中有关曲线积分问题的求解方法①

梁存利

（西藏民族学院教育学院 陕西咸阳 712082）

摘 要:最近几年考研高等数学试题中所出现的有关曲线积分的问题主要有第一型曲线积分和第二型曲线积分的计算以及有关性质的考察，本文以考研高等数学试题为例探讨了曲线积分问题的主要的求解方法。关键词:考研 高数 曲线积分中图分类号:O174文献标识码:A文章编号:1672-3791(2009)12(c)-0156-02

曲线积分和曲面积分一直都是研究生高等数学命题的热点，最近10年的研究生入学考题中都有关于这部分内容的题目，具体情况可见表1，并且大部分考生对这部分内容的题目都感到难度比较大。本文以历年研究生入学考试试题为例主要论述了曲线积分有关问题的求解方法。

解：椭圆l的方程可化为代入积分中得

，

。

其中L是D的取正向的边界曲线。

利用Green公式可以把曲线积分转化为二重积分。

对上述的例3也可用Green公式计算如下:解：设封闭曲线由弧L与有向线段BO、OA组成如右图1

，闭区域D由围成的。

由定理2可得:

因为xy是x的奇函数，曲线l关于y

轴对称，由定理1

可知

且故

。

。

1 第一型曲线积分的计算方法

(1)常规方法（转化为定积

分

）。

2 第二型曲线积分题型的求解方法

(1)，

2.1 化为定积分的方法对的光滑曲线L，a对应L的起点，β对

应

L

的终点，

则

例4（03年数1考研题）已知

平面区域

，L为D的

正

向边界。试证：

(1)(2)

解：（1）根据格林公

式

，得:

;

设有光滑曲线

函数f(x,y,z)

为定义在L上的连续函数，则

例1（09年数1考研题）

已知曲

线

，则

例3（04年数1考研题）设L为正向圆周

2

x+y-2在第一象限中的部分，则

曲线积分

2

的值为

______。

解：正向圆周的部分，可表示为

:

在第一象限中

(2)利用对称性求解。

定理1设曲线L由关于点P（或直线l，或平面γ）对称的曲线L1和L2组成,且设M1(M1∈L1)的对称点为M（M2∈L2）,则:2

　

于是

故

（注08数1也有此类

因为

D具有轮换对称性，所以:

,

（2）

由

(1)知:

　例2（98

年考研题）设l是椭圆其周长记为

a，则:

。

，

题）

2.2 利用Green公式求解

定理2（Green公式）设闭区域D由分段光滑的曲线L围成，函数P(x,y)及Q(x,y)在D

上

具有一阶连续偏导数，则:

性）

（利用轮换

对称

2.3 积分与路径无关的问题

定理3若P(x,y)，Q(x,y)在区域D内连续，有连续的一阶偏导数，则当D为单连通时，以下四条件等价：

（1）积分

只与起点、终点有

关，而与积分路径无关(L是D内分段光滑的曲线)。

(2)在D内任一分段光滑闭曲线C

上的积分为0：

图1

图

2

。

①作者简介：梁存利（1969—），男，硕士，讲师，主要研究方向：智能计算，组合优化和数据挖掘，高数

教

学

法

。

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