一、二维形式的柯西不等式

(a2 b2)(c2 d2) (ac bd)2(a,b,c,d R,当且仅当ad bc时,等号成立.)

二、二维形式的柯西不等式的变式

(1)a2 b2 c2 d2 ac bd(a,b,c,d R,当且仅当ad bc时,等号成立.) (2)a2 b2 c2 d2 ac bd(a,b,c,d R,当且仅当ad bc时,等号成立.) (3)(a b)(c d) (ac bd)

2(a,b,c,d 0,当且仅当ad bc时，等号成立.)

三、二维形式的柯西不等式的向量形式

(当且仅当 是零向量,或存在实数k,使 k 时,等号成立.)

借用一句革命口号说：有条件要用；没有条件，创造条件也要用。比如说吧，对a^2 + b^2 + c^2，并不是不等式的形状，但变成(1/3) * (1^2 + 1^2 + 1^2) * (a^2 + b^2 + c^2)就可以用柯西不等式了。 基本方法 （1）巧拆常数：

例1：设a、b、c为正数且各不相等。求证：（2）重新安排某些项的次序：

例2：a、b为非负数，a+b=1，x1,x2 R求证：(ax1 bx2)(bx1 ax2) x1x2 （3）改变结构：例3、若a>b>c 求证：（4）添项：例4：a,b,c R求证：

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a bb cc aa b c

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a bb ca c

abc3 b cc aa b2

【1】、设a ( 2,1,2), b 6，则a b之最小值为________；此时b ________。

a b aba b 18答案： 18; (4, 2, 4) 解析： ∴ ∴ 18 a b 18

b 2a (4, 2, 4) 之最小值为 18，此时a b

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【2】 设a (1，0， 2)，b (x，y，z)，若x y z 16，则ab的最大值为 。

【解】∵ a (1，0， 2)，b (x，y，z) ∴ a．b x 2z

由柯西不等式[12 0 ( 2)2](x2 y2 z2) (x 0 2z)2 5 16 (x 2z)2 4 x 4

55 4 a．b 4

，故a．b的最大值为4

【3】空间二向量a (1,2,3)，b (x,y,z)，已知b (1)a b的最大值为多少？(2)此时b ？

Ans：(1) 28：(2) (2,4,6)

【4】设a、b、c为正数，求(a b c)(

4a936

)的最小值。Ans：121 bc

【5】. 设x，y，z R，且满足x2 y2 z2 5，则x 2y 3z之最大值为 解(x 2y 3z)2 (x2 y2 z2)(12 22 32) 5．14 70∴ x 2y 3z最大值为70

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