2014年高考数学分类汇编(高考真题+模拟新题)

D单元 数列

D1 数列的概念与简单表示法

*

17．、、[2014·江西卷] 已知首项都是1的两个数列{an}，{bn}(bn≠0，n∈N)满足anbn＋1－an＋1bn＋2bn

＋1bn＝0.

(1)令cn＝{cn}的通项公式； (2)若bn＝3

n－1

anbn

，求数列{an}的前n项和Sn.

*

17．解：(1)因为anbn＋1－an＋1bn＋2bn＋1bn＝0，bn≠0(n∈N)，所以

an＋1an

＝2，即cn＋1－cn＝2， bn＋1bn

所以数列{cn}是以c1＝1为首项，d＝2为公差的等差数列，故cn＝2n－1.

n－1n－1012

(2)由bn＝3，知an＝(2n－1)3，于是数列{an}的前n项和Sn＝1×3＋3×3＋5×3＋…＋(2n－n－112n－1n12

1)×3，3Sn＝1×3＋3×3＋…＋(2n－3)×3＋(2n－1)×3，将两式相减得－2Sn＝1＋2×(3＋3＋…

n－1nn

＋3)－(2n－1)×3＝－2－(2n－2)×3，

n

所以Sn＝(n－1)3＋1. 17．、[2014·新课标全国卷Ⅰ] 已知数列{an}的前n项和为Sn，a1＝1，an≠0，anan＋1＝λSn－1，其中λ为常数．

(1)证明：an＋2－an＝λ.

(2)是否存在λ，使得{an}为等差数列？并说明理由．

17．解：(1)证明：由题设，anan＋1＝λSn－1，an＋1an＋2＝λSn＋1－1， 两式相减得an＋1(an＋2－an)＝λan＋1. 因为an＋1≠0，所以an＋2－an＝λ.

(2)由题设，a1＝1，a1a2＝λS1－1，可得 a2＝λ－1， 由(1)知，a3＝λ＋1.

若{an}为等差数列，则2a2＝a1＋a3，解得λ＝4，故an＋2－an＝4. 由此可得{a2n－1}是首项为1，公差为4的等差数列， a2n－1＝4n－3；

{a2n}是首项为3，公差为4的等差数列，a2n＝4n－1. 所以an＝2n－1，an＋1－an＝2.

因此存在λ＝4，使得数列{an}为等差数列． 17．、、[2014·新课标全国卷Ⅱ] 已知数列{an}满足a1＝1，an＋1＝3an＋1.

1

(1)证明 an是等比数列，并求{an}的通项公式；

2

1113

(2)证明＋＋…＋.

a1a2an2

1 1

17．解：(1)由an＋1＝3an＋1得an＋1＋＝3 an＋ .

2 2

n

1 13313

又a1＋，所以 an＋ 是首项为，公比为3的等比数列，所以an{an}的通项公

2 22222

n

3－1

式为an＝2

12

(2)证明：由(1)知＝.

an3－1nn－1

因为当n≥1时，3－1≥2×3，

11121n≤n－1n－1＝n

3－12×3an3－13

1 3111113＋≤1＋＋…＋＝1－ a1a2an332 3 2