选修1-1第三章导数及应用第一课时

3.1.1 变化率问题

一、教学目标

重点: 通过实例，让学生明白变化率在实际生活中的需要，探究和体验平均变化率的实际意义和数学意

义；函数平均变化率的概念.

难点：如何从数学的角度描述吹气球过程中的现象“随着气球内空气容量的增加，气球的半径增加得越

来越慢？”函数平均变化率的概念理解. 知识点：平均变化率的概念及其求法.

能力点：使学生在研究过程中熟悉数学研究的途径：背景——数学表示——应用，培养学生独立思考，

解决问题的能力和在生活中建立数学模型 ，用数学理论解释生活问题、应用数学的能力.

教育点：使学生通过学习，了解简单的情景蕴涵建立模型解决问题的一般思想方法，鼓励学生主动探究、

不惧困难，勇于挑战自我的思想品质。并养成学生探究—总结型的学习习惯.

自主探究点：平均速度和瞬时速度的区别和联系. 考试点：平均变化率的概念及其求法. 易错易混点：函数值的增量的理解和计算. 拓展点：瞬时速度和瞬时变化率．

二、复习引入

创设情境：

我们都吹过气球，回忆一下吹气球的过程,可以发现,随着气球内空气容量的增加,气球的半径增加越来越慢.从数学角度,如何描述这种现象呢?

【设计意图】通过熟悉的生活体验，提炼出数学模型，从而为归纳函数平均变化率概念提供具体背景. 设计说明：老师准备两个气球，请两位同学出来吹，请观看同学谈谈看见的情景；再请吹气球同学谈谈吹气球过程的感受，开始与结束感受是否有区别？

【设计意图】让学生吹气球，可以增加课堂气氛，同时加深学习导数的印象．对一种生活现象的数学解析，可以激发学生深入探究的兴趣，而且让学生感到数学是有用的.

三、探究新知

学生演示吹气球过程，谈感受，老师点评．

得出结论：随着气球内空气容量的增加，气球的半径增加得越来越慢． 探究一：

“随着气球内空气容量的增加，气球的半径增加得越来越慢”，从数学的角度该如何描述？

【设计意图】使学生感受到数学知识的产生发展是自然的，并非强加于人的，从而激发他们学习的兴趣与愿望.

说明：(1)组织学生讨论问题，阐述想法； (2)引导学生“以已知探求未知”，从气球体积出发，寻求想法； (3)师生共同确定想法：①气球体积V与气球半径r

之间的关系r(V)

当气球体积增加量相同时，相应半径的增加量越来越小＂，从数学角度进行描述就是，“随着气球体积的增大，比值

半径的增加量半径的增加量

越来越小”．③比值就是气球的平均膨胀率．

体积的增加量体积的增加量

提出问题：

请分别计算Ｖ从０增加到１Ｌ时，从１Ｌ增加到２Ｌ的平均膨胀率.