高中数学 2-3 排列组合典型例题 教师用

1．分类计数原理: 完成一件事，有n类办法，在第1类办法中有m1种不同的方法，在第2类办法中有m2种不同的方法， ，在第n类办法中有mn种不同的方法，那么完成这件事共有N= n1+n2+n3+ +nM种不同的方法．

2.分步计数原理:完成一件事,需要分成n个步骤,做第一步有m1种不同的方法,做第二步有m2种不同的方法, ,做第n步有mn种不同的方法，那么完成这件事共有N=n1·n2·n3· nM 种不同的方法．

注：分类计数原理和分步计数原理是排列组合的基础和核心，既可用来推导排列数、组合数公式，也可用来直接解题。它们的共同点都是把一个事件分成若干个分事件来进行计算。只不过利用分类计算原理时，每一种方法都独立完成事件；如需连续若干步才能完成的则是分步。利用分类计数原理，重在分“类”，类与类之间具有独立性和并列性；利用分步计数原理，重在分步；步与步之间具有相依性和连续性.比较复杂的问题，常先分类再分步。

3. 排列的定义：从n个不同的元素中任取m(m≤n)个元素，按照一定顺序排成一列，叫做从n个不同．．．．．．

元素中取出m个元素的一个排列.

排列数的定义: 从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素排成一列，称为从n个不同元素中取出m个元

m素的一个排列. 从n个不同元素中取出m个元素的一个排列数， 用符号An表示. 其中n，m∈N，并且

m≤n．

m 排列数公式: An n(n 1) (n m 1) n!(m≤n,n,m N) (n m)!

n当m=n时，排列称为全排列，排列数为An=n (n 1) 2 1 记为n!, 且规定O!=1.

mm 1注：n n! (n 1)! n! ; An nAn 1

4. 组合的定义: 从n个不同的元素中任取m(m≤n)个元素并成一组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合.

组合数的定义: 从n个不同的元素中取出m(m≤n)个元素的所有组合数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数．用符号Cn表示. m

Amn(n 1) (n m 1)n!mn 组合数公式: Cn. m Amm!m!(n m)!

0规定Cn 1，其中m，n∈N+，m≤n.

注: 排列是“排成一排”，组合是“并成一组”, 前者有序而后者无序. 组合数的两个性质:

n m①Cm

n Cn; 从n个不同元素中取出m个元素后就剩下n-m个元素，因此从n个不同元素中取出 n-m个元素的方法是一一对应的，因此是一样多的.

1m②Cm

n Cm Cnn 1 根据组合定义与加法原理得；在确定n+1个不同元素中取m个元素方法时，对于某一元素，只存在取与不取两种可能，如果取这一元素，则需从剩下的n个元

1素中再取m-1个元素，所以有Cm

n，如果不取这一元素，则需从剩余n个元素中取出m个

m 1mm元素，所以共有Cm

n种，依分类原理有Cn Cn Cn 1.

5．解排列、组合题的基本策略与方法

(Ⅰ)排列、组合问题几大解题方法：

①直接法; ②排除法;

③捆绑法：在特定要求的条件下，将几个相关元素当作一个元素来考虑，待整体排好之后再考虑它们“局部”的排列.它主要用于解决“元素相邻问题”;

④插空法：先把一般元素排列好，然后把待定元素插排在它们之间或两端的空档中，此法主要解决“元素不相邻问题”.

⑤占位法：从元素的特殊性上讲，对问题中的特殊元素应优先排列，然后再排其他一般元素；从位置的特殊性上讲，对问题中的特殊位置应优先考虑，然后再排其他剩余位置.即采用“先