极值与最值

一、选择题

1．函数y ＝ax 3＋bx 2取得极大值和极小值时的x 的值分别为0和13

，则( ) A ．a －2b ＝0 B ．2a －b ＝0 C ．2a ＋b ＝0 D ．a ＋2b ＝0

答案 D

解析 y ′＝3ax 2＋2bx ，据题意，

0、13是方程3ax 2＋2bx ＝0的两根 ∴－2b 3a ＝13， ∴a ＋2b ＝0.

2．(2011·江南十校)当函数y ＝x ·2x 取极小值时，x ＝( )

A.1ln2 B ．－1ln2 C ．－ln2 D ．ln2

答案 B

解析 由y ＝x ·2x 得y ′＝2x ＋x ·2x ·ln2 令y ′＝0得2x (1＋x ·ln2)＝0 ∵2x

＞0，∴x ＝－1ln2

3．函数f (x )＝x 3－3bx ＋3b 在(0,1)内有极小值，则( )

A ．0＜b ＜1

B ．b ＜1

C ．b ＞0

D ．b ＜12

答案 A

解析 f (x )在(0,1)内有极小值，则f ′(x )＝3x 2－3b 在(0,1)上先负后正，∴f ′(0)＝－3b ＜0， ∴b ＞0，f ′(1)＝3－3b ＞0，∴b ＜1

综上，b 的范围为0＜b ＜1

4．连续函数f (x )的导函数为f ′(x )，若(x ＋1)·f ′(x )>0，则下列结论中正确的是( )

A ．x ＝－1一定是函数f (x )的极大值点

B ．x ＝－1一定是函数f (x )的极小值点

C ．x ＝－1不是函数f (x )的极值点

D ．x ＝－1不一定是函数f (x )的极值点

答案 B

解析 x >－1时，f ′(x )>0x <－1时，f ′(x )<0

∴连续函数f (x )在(－∞，－1)单减，在(－1，＋∞)单增，∴x ＝－1为极小值点．

5．函数y ＝x 33＋x 2－3x －4在[0,2]上的最小值是( )

A ．－173

B ．－103

C ．－4

D ．－643

答案 A

解析 y ′＝x 2＋2x －3.令y ′＝x 2＋2x －3＝0，x ＝－3或x ＝1为极值点．

当x ∈[0,1]时，y ′<0.当x ∈[1,2]时，y ′>0，所以当x ＝1时，函数取得极小值，也为最小值．

∴当x ＝1时，y min ＝－173.

6．函数f (x )的导函数f ′(x )的图象，如右图所示，则( )

A ．x ＝1是最小值点

B ．x ＝0是极小值点

C ．x ＝2是极小值点

D ．函数f (x )在(1,2)上单增

答案 C

解析 由导数图象可知，x ＝0，x ＝2为两极值点，x ＝0为极大值点，x ＝2为极小值点，选C.

7．已知函数f (x )＝12x 3－x 2－72x ，则f (－a 2)与f (－1)的大小关系为( )

A ．f (－a 2)≤f (－1)

B ．f (－a 2)<f (－1)

C ．f (－a 2)≥f (－1)

D ．f (－a 2)与f (－1)的大小关系不确定

答案 A