2 0 1 5年第 1期

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医圃

瞿振华 (华东师范大学数学系， 2 0 0 2 4 1 ) 中图分类号： O 1 5 6 文献标识码：A 文章编号：1 0 0 5— 6 4 1 6 ( 2 0 1 5 ) o l一 0 0 0 7— 0 3

S n e v i l y猜测和一道全国联赛加试题

1 9 9 9年 H u n t e r S . S n e v i l y在《美国数学月刊》上刊登了若干与拉丁方有关的猜测， 其中有两个猜测可用数论的语言描述为如下 形式 .

本文介绍 N . A l o n关于猜测 ( 1 )当 n=P 时的证明，以及猜测 ( 2 )在=n的特殊情形 下的证明.

A l o n的证明基于下面的组合零点定理. 组合零点定理设 F为一个域，

S n e v i l y猜测 ( 1 )设 n为正奇数，整数

l, 2,…,模n互不同余，整数 Y l, Y 2,…, Y 模凡互不同余，则存在一一对应 :

∈F[ 1, 2,…,] 为域 F上的一个 n元多项式.假设 .厂有一个

{ 1, 2,…,}

{ Y l, Y z,…, Y },

最高次项

…: ,系数非零，则对任意

使得+

) ( 1≤i≤后 )模n互不同余；

S I, s 2,…, S F, I S I>d ( 1≤i≤n ),存在

( 2 )设n为正偶数，整数，,…, 模

5 ∈S ,使得 s 1, s 2,…, s )≠O . 先解释一下组合零点定理的意义. 所谓域是指一个集合对加减乘除运算封闭，并且满足通常的算术运算规律，常见的域有复数域 C,实数域 R,有理数域 Q,以及模素数 P的素域 F。 . 在本文中，读者只需将 F理解为以上四 种情形.

n互不同余，整数 Y。, Y ,…, Y 模 n互不同 余，则存在一一对应 ,

:1 l, 2,…, }

l

l

{ Yl, Y 2,…, Y k},

l

l

使得+ ) ( 1≤i≤ )模2互不同余. 对于 S n e v i l y猜测 ( 1 ), N . A l o n于 1 9 9 9年 证明了=P为奇素数的情形. S . D a s g u p t a 等人在 2 0 0 3年证明了所有奇数的情形. B . A r s o v s k i在2 0 1 1年又证明了在奇数阶有

假设 F: R .将

f= 2+ 一 + x 3 y 3一 2 ), 4∈R[ , Y],

限加法群中的推广形式 .至此，猜测 ( 1 )已经 获得了完满的解决 .

但是，对于 S n e v i l y猜测 ( 2 ),至今未有任

看作定义在平面 R 上的函数.

何实质性的进展. 2 0 1 4年全国高中数学联合竞赛加试第 四题即以 S n e v i l y猜测为背景，是猜测 ( 2 )中 k=n=2 0 1 4的特殊情形.标准解答可适用于

由于有最高次项 x 3 y ,系数非零，组合零点定理表明，在任意四条平行于 Y轴的直线和任意四条平行于轴的直线所交的 1 6 个点中，必有一点.厂的值非零. 当然， 还有一个最高次项，系数非零，组合零点定理表明，在任意三条平行于 Y

所有= n三 2 ( m o d 4 )的情形.在阅卷过程中， 笔者发现有的解答适用于所有 k=凡的证明. 收稿口期： 2 0 1 4—1 1— 2 0

轴的直线和任意五条平行于轴的直线所交的1 5个点中，必有一点 .厂的值非零.