(3)逆矩阵的简单性质

①若二阶矩阵A，B均存在逆矩阵，则AB也存在逆矩阵，且(AB)1＝B1A1.

－

－

－

②已知A，B，C为二阶矩阵，且AB＝AC，若矩阵A存在逆矩阵，则B＝C. (4)逆矩阵与二元一次方程组

ax＋by＝m， x 对于二元一次方程组 (ad－bc≠0)，若将X＝ 看成是原先的向量，而

y cx＋dy＝n

m a

将B＝ 看成是经过系数矩阵A＝

n c

a 可记为矩阵方程AX＝B，

c

b x

d

b

(ad－bc≠0)对应变换作用后得到的向量，则

－bd ad－ bcad－bc .

＝

－ca ad－bcad－bc

m －－

则X＝A1B，其中A1 ＝ ，

d y n

4． 二阶矩阵的特征值和特征向量

(1)特征值与特征向量的概念

设A是一个二阶矩阵，如果对于实数λ，存在一个非零向量α，使得Aα＝λα，那么λ称为A的一个特征值，而α称为A的一个属于特征值λ的一个特征向量． (2)特征向量的几何意义

特征向量的方向经过变换矩阵A的作用后，保持在同一条直线上，这时特征向量或者方向不变(λ>0)，或者方向相反(λ<0)，特别地，当λ＝0时，特征向量就被变成了零向量． (3)特征多项式 设λ是二阶矩阵A＝

a

c x 则A x ＝λ x ，

它的一个特征向量为α＝ ， 的一个特征值，

y y y d

b

ax＋by＝λx， λ－a x－by＝0， x 即 满足二元一次方程组 故 (*)

y cx＋dy＝λy，－cx＋ λ－d y＝0.

由特征向量的定义知α≠0，因此x，y不全为0，此时Dx＝0，Dy＝0，因此，若要上述

λ－a －b 二元一次方程组有不全为0的解，则必须有D＝0，即 ＝0.

－c λ－d

定义：设A＝

a c

λ－a －b 2

是一个二阶矩阵，λ∈R，我们把行列式f(λ)＝ ＝λd －c λ－d

b

－(a＋d)λ＋ad－bc. 称为A的特征多项式． (4)求矩阵的特征值与特征向量

如果λ是二阶矩阵A的特征值，则λ一定是二阶矩阵A的特征多项式的一个根，它满

x0 足f(λ)＝0.此时，将λ代入二元一次方程组(*)，就可以得到一组非零解 ，于是，非

y0