31、读书之法，在循序而渐进，熟读而精思——朱熹
初二数学竞赛辅导资料（15）
勾股定理
内容提要
1．勾股定理及逆定理：△ABC中　∠C＝Rt∠a2＋b2=c2
2．勾股定理及逆定理的应用
① 作已知线段a的，， ......倍
② 计算图形的长度，面积，并用计算方法解几何题
③ 证明线段的平方关系等．
3．勾股数的定义：如果三个正整数a，b，c满足等式a2＋b2=c2，那么这三个正整数a，b，c叫做一组勾股数.
4．勾股数的推算公式
④ 罗士琳法则（罗士琳是我国清代的数学家1789――1853）
任取两个正整数m和n(m>n)，那么m2-n2，2mn，　m2+n2是一组勾股数．
⑤ 如果k是大于1的奇数，那么k， ，是一组勾股数．
⑥ 如果k是大于2的偶数，那么k， ，是一组勾股数．
⑦ 如果a，b，c是勾股数，那么na，　nb，　nc　(n是正整数)也是勾股数．
5．熟悉勾股数可提高计算速度，顺利地判定直角三角形．简单的勾股数有：3，4，5；　5，12，13；　7，24，25；　8，15，17；　9，40，41．
例题
例1.已知线段a　　 a 　　　　a　　　2a　　 3a a　　　　　　　　　　　　　　　　　　
求作线段a　　　　　　　　　　　　 a　　　　　　　 　
分析一：a＝＝ 2a 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
∴a是以2a和a为两条直角边的直角三角形的斜边．
分析二：a＝

∴a是以3a为斜边，以2a为直角边的直角三角形的另一条直角边．
作图（略）
例2.四边形ABCD中∠DAB＝60，∠B＝∠D＝Rt∠，BC＝1，CD＝2
求对角线AC的长　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
解：延长BC和AD相交于E，则∠E＝30　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
∴CE＝2CD＝4，　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
在Rt△ABE中　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
设AB为x，则AE＝2x　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
根据勾股定理x2+52=(2x)2， x2=　　　　　　　　　　　　　
在Rt△ABC中，AC＝＝＝
例3.已知△ABC中，AB＝AC，∠B＝2∠A
求证：AB2－BC2＝AB×BC　　　　　　　　　　　　　　　　　　
证明：作∠B的平分线交AC于D，　　　　　　　　　　　　
　则∠A＝∠ABD，　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
∠BDC＝2∠A

＝∠C
∴AD＝BD＝BC　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
作BM⊥AC于M，则CM＝DM　　　　　　　　　　　　　　　　　
AB2－BC2＝（BM2＋AM2）－（BM2＋CM2）　　　　　　　　　　　　
　　　　＝AM2－CM2＝（AM＋CM）（AM