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均值不等式证明

关于均值函数 D(r) 的单调性的证明

定义均值函数 D(r) 如下:

1

n

ar

r

ii i 1

r 0 D(r)= n

i i 1

n1

i i

ai i 1

r 0 i 1

其中, n N*;ai, i 0 (i 1,2,...,n).

n

iair

n

n

lni 1

n

iair

lnai

ilnai

1

i 1

i

rlim

i 0

lim

i 1

limD(r) eiair

i

r 0

r

r 0

e

i 1

(洛必达法则)

e

i 1

D(0) (*)

D(r)在 R 上是连续的.

n

r

n

r

iarilnai

iaii 1

i 1当 r 0 时,有 D (r)

ln

riaii 1

i

i 1

D(r)r

2

(**)

记 k limD (r)

r 0D(r)

.

n

r

iai 1 nlni iarilnai i (*) 得lim i 1i 1

r 0 n

0 ar

rii i 1

由

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