基本不等式经典例题

基本不等式

知识点：

1. (1)若a,b R，则a2

b2

2ab (2)若a,b R，则ab a2 b2

2

（当且仅当a b

时取“=”）

2. (1)若a,b R*，则a b

2

ab

(2)若a,b R*，则a b 2ab （当且仅当a b时取“=”）

(3)若a,b R*

，则ab a b 2

(当且仅当a b时取“=”） 2

3.若x 0，则x

1

x 2 (当且仅当x 1时取“=”） 若x 0，则x 1

x

2 (当且仅当x 1时取“=”）

若x 0，则x 1x 2即x 1x 2或x 1x

-2 (当且仅当a b时取“=”）

4.若ab 0，则ab

b a

2 (当且仅当a b时取“=”）若ab 0，则

a 2aab即bb

a

2或 b b

a

(- 2当且仅当a b时取“=”） 5.若a,b R，则2

2

(

a b2a b

2)

2

（当且仅当a b时取“=”） 注意：

(1)当两个正数的积为定植时，可以求它们的和的最小值，

当两个正数的和为定植时，可以求它们的积的最小值，正所谓“积定和最小，和定积最大”． (2)求最值的条件“一正，二定，三取等”

(3)均值定理在求最值、比较大小、求变量的取值范围、证明不等式、解决实际问题方面有广泛的应用

应用一：求最值 例：求下列函数的值域

（1）y＝3x 2＋

1

2x

2

（2）y＝x＋1

x

解：(1)y＝3x 2＋1

1

2x

2 ≥2

3x 2·2x

2 ＝

6 ∴值域为[6 ，+∞）

(2)当x＞0时，y＝x＋1

x≥2

x·1

x

＝2； 当x＜0时， y＝x＋11

x = －（－ x－x ）≤－2

x·1

x

=－2 ∴值域为（－∞，－2]∪[2，+∞）

解题技巧

技巧一：凑项

例 已知x

5

4，求函数y 4x 2 14x 5

的最大值。 解：因4x 5 0，所以首先要“调整”符号，又(4x 2)1

4x 5

不是常数，所以对4x 2要进行拆、凑项，

x 54, 5 4x 0， y 4x 2 1 1 4x 5 5 4x 5 4x 3 2 3 1 当且仅当5 4x

1

5 4x

，即x 1时，上式等号成立，故当x 1时，ymax 1。

技巧二：凑系数

例： 当时，求y x(8 2x)的最大值。 解析：由知，

，利用均值不等式求最值，必须和为定值或积为定值，此题为两

个式子积的形式，但其和不是定值。注意到2x (8 2x) 8为定值，故只需将y x(8 2x)凑上

一个系数即可。

当

，即x＝2时取等号 当x＝2时，y x(8

2x)的最大值为8。

变式：设0 x

3

2

，求函数y 4x(3 2x)的最大值。 解：∵0 x 32∴3 2x 0∴y 4x(3 2x) 2 2x(3 2x) 2 2x 3 2x 2

9 2

2 当且仅当2x 3 2x,即x

3 34 0,

2

时等号成立。