均值不等式习题
均值不等式练习题:
1.a>0. b>0 a+b=3, 求√(1+a)+√(1+b)的最大值.
2. 求函数y=x+a／x (a>0)的值域
3. 已知两直角边长分别为a，b的直角三角形的面积大小与周长大小相等，则ab的最小值为多少
4. a>0,b>0,ab=a+b+3,求a+b最小值。
答案：
1. 因为(x+y)^2<=2(x^2+y^2)
所以[√(a+1)+ √(b+1)]^2 <= 2 {[√(a+1)]^2 + [ √(b+1)]^2}
=2[(a+1)+(b+1)]=10
因此√(a+1)+ √(b+1)<= √10
2. 当x>0,则y=x+(a/x)≥2√a,当且仅当x=a/x,即x=√a时，
有最小值2√a,此时[2√a,+∞）
当x<0,则y=-(-x+a/(-x))≤-2√a,当且仅当-x=a/-x,即x=-√a时，
有最大值-2√a, 此时（-∞，-2√a]
综上(-∞,-2√a]U[2√a,+∞）
3. a+b+√(a^2+b^2)=ab/2
a+b>=2√(ab)
√(a^2+b^2)>=√(2ab)
于是
ab/2
= a+b+√(a^2+b^2) >= 2√(ab)+ √(2ab) = (2+√2)√(ab)
a,b为直角边的长，所以a,b均大于0
也就有
√(ab)/2>=(2+√2) 【由两边除以√(ab)得】
于是
ab>=[2(2+√2)]^2=4(2+√2)^2=24+16√2
当a=b时取等号时
ab有最小值为24+16√2
4. a+b=ab-3<=(a+b)^2/4-3
令t=a+b
则t<=t^2/4-3
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