高等数学同济第六版上_答案解析第三章
习题3 1
1 验证罗尔定理对函数y ln sin x 在区间 ,5 上的正确性
66
解 因为y ln sin x 在区间[ , 5 上连续 在 ,5 内可导 且
6666
y( y(5 , 所以由罗尔定理知 至少存在一点 ,5 使得y ( ) cot 6666
0
由y (x) cot x 0得 ( , 5
266
因此确有 ( , 5 使y ( ) cot 0
266
2 验证拉格朗日中值定理对函数y 4x3 5x2 x 2在区间[0 1]上的正确性
值定理知 至少存在一点 (0 1) 使y ( )
由y (x) 12x2 10x 1 0得x 5 (0, 1)
12
y(1) y(0)
因此确有 5 (0, 1) 使y ( )
1 012
3 对函数f(x) sin x及F(x) x cos x在区间[0, 上验证柯西中值定理的正
2确性
解 因为f(x) sin x及F(x) x cos x在区间[0, 上连续 在(0, 可导 且
22F (x) 1 sin x在(0, 内不为0 所以由柯西中值定理知至少存在一点 (0,
22使得
f f(0)f ( )
F F(0)F()2
f(0)ff (x)
令 即cosx 2
1 sinx 2F(x)F F(0)
2
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y(1) y(0)
0 1 0
解 因为y 4x3 5x2 x 2在区间[0 1]上连续 在(0 1)内可导 由拉格朗日中
