1

M

D 1

C 1

B 1

A 1

D C

B

A

2013～2014学年度上学期高二数学寒假作业（四）

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．命题“∃Z x ∈，使022≤++m x x ”的否定是（ ） A. ∃Z x ∈，使m x x ++22＞0 B. 不存在Z x ∈，使m x x ++22＞0 C. ∀Z x ∈，使022≤++m x x D. ∀Z x ∈，使m x x ++22＞0

2．已知椭圆C 的左、右焦点坐标分别是)0,3(),0,3(-，离心率是2

3

，则椭圆C 的方程为 ( )． A. 1222=+y x B ． 1422=+y x C. 1222=+y x D. 14

22

=+y x

3．设集合}3|),{(},136

|),{(22

x y y x B y x y x A ===-= ，则A ∩B 的子集的个数是（ ）

A. 2

B. 4

C. 6

D. 8

4．如图，在底面ABCD 为平行四边形的四棱柱ABCD -A 1B 1C 1D 1 中，M 是AC 与BD 的交点，若AA ===1,,， 则下列向量中与M B 1 相等的向量是（ ） A ．c b a ++-

2121 B. c b a ++21

21 C ．c b a -+-2121 D ．c b a +--21

21

5．已知条件2|1:|>+x p , 条件 2

65:x x q >-，则p ⌝是q ⌝的（ ）

A ．充分不必要条件

B ．必要不充分条件

C ．充要条件

D ．既不充分也不必要条件

6. 已知双曲线)0,0(1:22

22>>=-b a b

x a y C 的离心率为25，则C 的渐近线方程为（ ）

A ．x y 2±=

B ．x y 21±=

C ．x y 4±=

D ．x y 4

1

±=

7. 一个三棱锥的顶点在空间直角坐标系O-xyz 中的坐标分别是（1，-2，-3），（0，1，0）， （0，1，1），（0，0，1），则该四面体的体积为（ ）

A ． 1

B ．21

C ．31

D ．6

1 8．过直线l ：9y x =+上的一点P 作一个长轴最短的椭圆，使其焦点为()()123,0,3,0F F -，则椭圆的

方程为（ ）

A ．

131222=+y x B ．1162522=+y x C ．1364522=+y x D ．172

812

2=+y x 9. 如图，平面ABCD ⊥平面ABEF ，四边形ABCD 是正方形， 四边形ABEF 是矩形，且AF ＝

AD 2

3

，G 是EF 的中点， 则GB 与平面AGC 所成角的正弦值为（ ） A.

6

6 B.

621 C. 77

D.

7

21

10．已知命题p ：△ABC 所对应的三个角为A ，B ，C . A >B 是cos 2A <cos 2B 的充要条件；

命题q ：函数))2

,0((1tan 2tan 1π

∈+++=

x x x y 的最小值为1；

则下列四个命题中正确的是（ ） A. q p ∧ B. q p ⌝∧ C. q p ∨⌝ D. q p ⌝∧⌝

11. 已知向量321,,v v v 分别是空间三条不同直线321,,l l l 的方向向量，则下列命题中正确的是（ ）

A ．)(,313221R v v l l l l ∈=⇒⊥⊥λλ B. )(//,313221R v v l l l l ∈=⇒⊥λλ

C. 321,,l l l 平行于同一个平面R ∈∃⇒μλ,，使得321v v v μλ+=

D. 321,,l l l 共点R ∈∃⇒μλ,，使得321v v v μλ+=

12. 过抛物线2

4y x =的焦点F 的直线交抛物线于,A B 两点，点O 是原点，若3AF =,则AOB ∆的面积

为（ ）

A.

2

B.

C.

2

D. 二、填空题（每题5分，满分20分）13．有下列四个命题：①“若0x y += , 则,x y 互为相反数”的逆命题； ②“全等三角形的面积相等”的否命题；③“若1q ≤ ,则2

20x x q ++=有实根”的逆否命题；④“不等边三角形的三个内角相等”逆命题； 其中真命题为___________________.

14. 过点(1,1)M 作一直线与椭圆22

194

x y +=相交于A 、B 两点，若M 点恰好为弦AB 的中点，则AB 所在

直线的方程为 ． 15．抛物线顶点为O ，焦点为F ，M 是抛物线上的动点，则

|

||

|MF MO 的最大值为 ．

16．设四面体的六条棱的长分别为1，1，1，1

和a ，且长为a

a 的取

值范围是_________________. 三．解答题（满分70分） 17.（本小题满分10分）

设抛物线x 2=2py （p >0）的焦点为F ，经过点F 的直线交抛物线于A 、B 两点，点C 在抛物线的准线上，且BC ∥y 轴.证明直线AC 经过原点O .