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麻省理工学院经济系时间序列分析2001期末考试

麻省理工学院经济系时间序列分析2001期末考试

麻省理工学院 Guido Kuersteiner 经济系

时间序列14.384

期末考试——2001年秋

说明：此为180分钟开卷考试

1．假定εt和ηt是服从独立同N（0，1）分布的随机变量序列，且对于所有t和s都有Eεtηt=0都成立。假定xt=

∑cε

j=0

∞

jt j

，

∑

j

cjj∞。ut=∑γjηt j，j∞。yt由yt=βxt+ut∑jγjj=0

∞

产生。我们观察容量为N的样本 {yt，xt}t=1。

n

=a）已知OLS估计量β

∑

∑

n

t=1ttn2t=1t

xyx

是否一致？求β 在适当标准化和中心化后的极限分，β

极限分布的方差是什么？ 布。β

b）考虑随机变量zt=xtut。求以cj和γj为参数的函数zt的自协方差函数。求zt的谱密度函数。

的渐近方差（提示：利用c）用zt和xt的谱密度函数表示在a）条件下β

iλ-1

f（)，C(L)=∑j=0cje iλj） xλ）=（2π）C(e

∞

2

d）如果γj=0且j≠0。如何使C）结果简单化？

f）若γj≠0且至少一个j，j≤q，q是正定整数，则ut是独立同分布序列。检验此假设。 2．xt为弱平稳过程Ext=0。考虑滤波器yt=

1

(xt+xt 1+xt 2)。 3

a）用xt的谱密度函数f（和滤子的幂传递函数求出yt的谱密度函数。 xλ）b）通过到滤波器的增益函数和相移来描述此滤波器的性质。

c）现考虑xt的循环分量yt，定义如下：yt=xt yt。找出将xt输入yt的滤波器。假定xt是xt=xt 1+ut，ut iidN(0，1)，x0=0，的单位根。yt是否平稳？证明该结论。

c

ccc

d）已知yt为过滤序列，讨论yt的最优性质。如果目标是抽取在频带 [a，b]上产生谱函数的xt的分量yt。

你的答案将如何依赖a和b。（提示：可非形式的作答，你可能会发现当xt由

c

cc

第1页

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