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证明不等式的方法.doc第二稿修稿(1)

证明不等式的方法

1不等式的基本性质

1.1不等式的概念：表示不相等关系的式子。

实数集内的任意两个数a,b总是可以比较大小的，如果a b是正数，则a b;如果a b是零，则a b；如果a b是负数，则a b。反过来也对。即有 a≧b a b 0这里符号 表示等价于。

这个定义虽然简单，实际它反映不等式的性质。许多不等式的证明，是从这个定义出发。首先，根据不等式的定义，容易证明下述不等式的简单性质，这些性质是证明其他不等式的基本工具。 1.2a b b a(对称性)

1.3若a b,b c,则a c(传递性) 1.4若a b,则a b b c(加法保序性) 1.5若a b,c 0，则ac bc(乘正数保序性) 1.6若a b,c d,则a c b d.

若a b,c d,a c b d.a b 0,c d 0,则ac bd.

11

.

a bab 01.7若,,则ab ab

.

1.8若a b 0,d c 0,则cd

1.9若a b 0,n N，则an bn,a . 1.10若a b 0,m,n N，则a b,a1.11含绝对值的不等式

mn

mn

mn

b.

mn

x a x2 a2 a x ax b a a b x a b

(2)x a a 0 x2 a2 x a或x a.

3 a b a b a b.

4 a1 a2 ... an a1 .... an.

1.12若a,b R，则a2 0, a b 0.

a b

1.13若a,b R ，则由这个不等式还可以 ab.符号当且仅当a b时成立。

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