2012年高考数学 冲刺60天解题策略 专题八 运用数学思想方法解题的策略 第四节 运用等价转换思想解题的策略
2012年高考数学 冲刺60天解题策略
运用数学思想方法解题的策略
等价转换是四大数学思想之一，在研究和解决中较难数学问题时，采用等价转换思想，将复杂的问题等价转换为简单的问题，将难解的问题通过等价转换为容易求解的问题，将未解决的问题等价转换为已解决的问题.近几年来高考试题要求学生要有较强的等价转换意识，等价转换思想的应用在近几年来高考试题中处处可见，是解高考试题常用的数学思想，难度值一般控制在0.3 0.7.
考试要求： （1）了解等价转换的数学思想和遵循的基本原则；（2）了解等价转换思想在解题中的作用；（3）掌握等价转换的主要途径、方法；（4）掌握几种常见的等价转换思路，灵活运用等价转换思想解决数学难题.
题型一 利用数学定义、公式构造数学模型进行等价转换 例1.（1
）求sin20 cos8020cos80的值; （2
）求函数y sinx的最大值.
点拨: （1）利用所求式与余弦定理类似，再结合正弦定理的推论求值；（2）将函数最值问题转换为向量数量积问题，由数量积的不等式性质，求出y最大值. 解：（1）注意到所求式与余弦定理类似，由
2
o
2
o
o
o
c2 a2 b2 2abcosC sin2C sin2A sin2B 2sinAsinBcosC
1
. 4
（2
）构造向量a (1,1),b (sinx则|a| |b| |a b| |a||b|知，
∴原式=sin20 sin10 2sin20sin10cos150 sin150
2
o
2
o
o
o
o
2
o
|y| |sinx |a b| |a||b| 2，
∴ymax 2，当且仅当a与b共线且方向相同时，
即sinx cos2x 1 x k
2
,k Z时等号取得
.
变式与引申1：已知a,b,m R，且a b，求证：
a ma
. b mb
题型二 函数、方程及不等式解题中的等价转换
例2.（1）若a、b是正数，且满足ab a b 3，求ab的取值范围.
(2)已知奇函数f(x)的定义域为实数集R，且f(x)在[0, )上是增函数，当0
2
2 3) f时，是否存在这样的实数m，使f(cos (m4 m2cos )f(0对所有的
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