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高考复习精华版__第十章-排列组合二项定理_(1)

为n1、n2……nk，且n = n1+n2+……nk , 则S的排列个数等于n

n!

.

n1!n2!...nk!

例如：已知数字3、2、2，求其排列个数n (1 2)! 3又例如：数字5、5、5、求其排列个

1!2!数？其排列个数n 3! 1.

3!

三、组合.

1. 组合：从n个不同的元素中任取m(m≤n)个元素并成一组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合.

Amn(n 1) (n m 1)n

组合数公式：C m

m!Am

m

n

Cmn

n!

m!(n m)!

两个公式：①Cn C

m

n mn;

②C

m 1mmn Cn Cn 1

①从n个不同元素中取出m个元素后就剩下n-m个元素，因此从n个不同元素中取出 n-m个元素的方法是一一对应的，因此是一样多的就是说从n个不同元素中取出n-m个元素的唯一的一个组合.

（或者从n+1个编号不同的小球中，n个白球一个红球，任取m个不同小球其不同选法，

1m 1m

分二类，一类是含红球选法有Cm n C11 Cn一类是不含红球的选法有Cn）

②根据组合定义与加法原理得；在确定n+1个不同元素中取m个元素方法时，对于某一元素，只存在取与不取两种可能，如果取这一元素，则需从剩下的n个元素中再取m-1个元素，所以有C

m

m 1

n，如果不取这一元素，则需从剩余

n个元素中取出m个元素，所以共有

Cn种，依分类原理有C

m 1mm

C Cnnn 1.

排列与组合的联系与区别.

联系：都是从n个不同元素中取出m个元素.

区别：前者是“排成一排”，后者是“并成一组”，前者有顺序关系，后者无顺序关系. ①几个常用组合数公式

012nCn Cn Cn n 2 n

024135Cn Cn Cn Cn Cn Cn 2n 1mmmm 1Cmn Cm 1 Cm 2 Cm n Cm n 1k 1kCk nCnn 1

11k 1

Ck Cnn 1

k 1n 1

②常用的证明组合等式方法例. i. 裂项求和法. 如：

123n1n 111

（利用 1 ）

2!3!4!(n 1)!(n 1)!n!(n 1)!n!

ii. 导数法. iii. 数学归纳法. iv. 倒序求和法.

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