2011-2012学年高一数学必修1（人教版）同步练习第一章

第三节函数的基本性质

【本讲教育信息】

一. 教学内容：

高考复习：2. 函数的基本性质

二. 考纲要求：

（1）理解函数的单调性、最大（小）值及其几何意义；结合具体函数，了解函数奇偶性的含义。 （2）会运用函数图象理解和研究函数的性质。

三. 命题方向及典例探究 1、函数单调性的判断

ax

f(x) 2,x ( 1,1)

x 1例1. 试讨论函数中的单调性（其中a 0）。

解析：设 1 x1 x2 1, axaxa(x2 x1)(x1x2 1)

f(x1) f(x2) 21 22 2

x1 1x2 1(x1 1)(x22 1)则

1 x1 x2 1,

2

|x1| 1,|x2| 1,x2 x1 0,x1 1 0,x22 1 0,|x1x2| 1,即 1 x1x2 1,

x1x2 1 0,

(x2 x1)(x2x1 1)

2

(x1 1)(x22 1)

0.

因此，当a 0时，f(x1) f(x2) 0, 即f(x1) f(x2),此时函数为减函数； 当a 0时，f(x1) f(x2) 0,

即f(x1) f(x2),此时函数为增函数。

点评：（1）证明函数单调性时，一定要严格按照定义来证明，主要步骤是：①设元；②作差（商）；③变形；④判断符号；⑤定论。变形要彻底，一般通过因式分解、配方等手段，直到符号的判定非常明显。

（2）判断函数单调性的常用方法： ①定义法。

②两个增（减）函数的和为增（减）函数；一个增（减）函数与一个减（增）函数的差是增（减）函

1y

f(x)与y f(x)的单调性相反。 数；当f(x)恒为正或恒为负时，

③奇函数在对称的两个区间上有相同的单调性，偶函数在对称的两个区间上有相反的单调性。

④如果f(x)在区间D上是增（减）函数，那么f(x)在D的任一子区间上也是增（减）函数。

⑤如果y f(u)和u g(x)单调性相同，那么y f[g(x)]是增函数；如果y f(u)和u g(x)单调性相反，那么y f[g(x)]是减函数。