2013-2014学年高中数学北师大版必修1示范教案3.4.2换底公式

4.2 换底公式

导入新课

思路1.问题：你能根据对数的定义推导出下面的换底公式吗？a＞0，且a≠1，c＞0，

logcb且c≠1，b＞0，logab＝.教师直接点出课题． logca

思路2.前两节课我们学习了以下内容：1.对数的定义及性质；2.对数恒等式；3.对数的运算性质及应用．我们能就同底数的对数进行运算，那么不同底数的对数集中在一起，如何解决呢？这就是本堂课的主要内容．教师板书课题．

思路3.从对数的定义可以知道，任意不等于1的正数都可作为对数的底，数学史上，人们经过大量的努力，制作了常用对数表和自然对数表，只要通过查表就能求出任意正数的常用对数或自然对数，这样，如果能将其他底的对数转换为以10为底或以e为底的对数就能方便地求出任意不等于1的正数为底的对数，那么，怎么转化呢？这就需要一个公式，即对数的换底公式，从而引出课题．

推进新课

新知探究

提出问题

①已知lg 2＝0.301 0，lg 3＝0.477 1，求log23的值.

②根据①，如a>0，a≠1，你能用含a的对数式来表示log23吗？

logcb③更一般地，我们有logab＝，如何证明？logca

logcb④证明logab＝logca

⑤你能用自己的话概括出换底公式吗？

⑥换底公式的意义是什么？有什么作用？

活动：学生针对提出的问题，交流讨论，回顾所学，力求转化，教师适时指导，必要时提示学生解题的思路，给学生创造一个互动的学习环境，培养学生的创造性思维能力．对①目前还没有学习对数的换底公式，它们又不是同底，因此可考虑对数的定义，转化成方程来解；对②参考①的思路和结果的形式，借助对数的定义可以表示；对③借助①②的思路，利用对数的定义来证明；对④根据证明的过程来说明；对⑤抓住问题的实质，用准确的语言描述出来，一般是按照从左到右的形式；对⑥换底公式的意义就在于对数的底数变了，与我们的要求接近了．

0.301 0讨论结果：①因为lg 2＝0.301 0，lg 3＝0.477 1，根据对数的定义，所以10＝

0.477 12,10＝3.

x0.301 0x0.477 1不妨设log23＝x，则2＝3，所以(10)＝10， 0.477 1lg 30301 0×x0.477 110．＝10，即0.301 0x＝0.477 1，x＝0.301 0lg 2

lg 30.477 1因此log23＝ lg 20.301 0

②根据①我们看到，最后的结果是log23用lg 2与lg 3表示，是通过对数的定义转化的，这就给我们以启发，本来是以2为底的对数转换成了以10为底的对数，

x不妨设log23＝x，由对数定义知道，2＝3，

两边都取以a为底的对数，得

loga3loga3xloga2＝loga3，xloga2＝loga3，x＝，也就是log23＝. loga2loga2

这样log23就表示成了以a为底的3的对数与以a为底的2的对数的商．

logcb③证明logab＝logca

x证明：设logab＝x，由对数定义知道，a＝b；